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天津师范大学津沽学院2015届本科毕业论文（设计）选题审批表系别：理学系专业：数学与应用数学学生姓名顾鹏飞学号13583115指导教师张筱玮职称教授所选题目名称：勾股定理的证明方法及应用研究选题性质：（）A.理论研究（√）B.应用研究（）C.应用理论研究选题的目的和理论、实践意义：勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。为以后学习三角函数奠定基础。勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。勾股定理作为一个被人类早期发现并证明的重要数学定理之一，对数学的发展产生了不可小视的影响。勾股定理使人们以代数的思想与概念来解决几何问题，正是“数形结合”思想的体现，这样的思想角度是十分重要的。同时，勾股定理的发现推动了人类对数学几何更深的探索；通过勾股定理，我们可以推导出许多其它真命题与定理，这大大地方便了我们对几何问题的解决，也使数学的发展迈出了一大步。[12]更为重要的是，其后希帕索斯根据勾股定理发现了第一个无理数（2），导致第一次数学危机。指导教师意见：签字：年月日系领导小组意见：签字：年月日备注：天津师范大学津沽学院2015届本科毕业论文（设计）开题报告系别：理学系专业：数学与应用数学论文题目勾股定理的证明方法及应用研究指导教师张筱玮职称教授学生姓名顾鹏飞学号13583115一、研究目的（选题的意义和预期应用价值）勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。为以后学习三角函数奠定基础，勾股定理作为一个被人类早期发现并证明的重要数学定理之一，对数学的发展产生了不可小视的影响。勾股定理使人们以代数的思想与概念来解决几何问题，正是“数形结合”思想的体现，这样的思想角度是十分重要的。同时，勾股定理的发现推动了人类对数学几何更深的探索；通过勾股定理，我们可以推导出许多其它真命题与定理，这大大地方便了我们对几何问题的解决，也使数学的发展迈出了一大步。[12]更为重要的是，其后希帕索斯根据勾股定理发现了第一个无理数（2），导致第一次数学危机。二、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所突破和创新的方面（文献综述）中国：公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。外国：在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个证明。1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法。1940年《毕达哥拉斯命题》出版，收集了367种不同的证法。勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理（PythagorasTheorem）．勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。参考文献[1]任继愈.中国古代数学[M].北京：商务印书馆，1997（1）：66.[2]孔凡茹孔凡伟熊昌雄.勾股定理的早期记载和证明[J].宜宾学院学报，2007（12）：28.[3]王树禾.数学聊斋[M].科学出版社,2004(2)：100.[4]潘有发.几个与勾股定理有关的趣味诗词古算题[J].中学生数学,2007(1):23.[5]张彩明.蚂蚁怎样走最近[J].中学生数理化，2006（7）：45.[6]《数学原理》[J].人民教育出版社.[7]《探究勾股定理》[M].同济大学出版社.[8]《优因培揭秘勾股定理》[M].江西教育出版社.三、分析研究的可能性、基本条件及能否取得实质性进展（方案论证）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。这个据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。勾股定理的证明表达着不同的文化内涵，若将不同的证明思想相融合，可使古老的方法迸发出新的火花。数学史上关于勾股定理的最早证明记载于欧几里得《几何原本》，在中国古代数学中则是以算法形式呈现的。三国时期东吴数学家赵爽，在给《周髀算经》作注释的时候突发灵感证明了勾股定理。现在的数学课本中对勾股定理的证明就是它的简化。如图，连接HB,HD证明：∵SHAB△+SHCD△=21c2从而21a2+21b2=21c2∴a2+b2=c2赵爽的证明直观性强，简洁明了，直到1150年国外相类似的证明才由印度数学家巴斯卡拉给出。四、课题研究的主要方法、策略和步骤1.研究内容：《勾股定理》苏科版实验教科书数学八年级上册第二章的内容2.研究思想：（1）通过观察、操作等活动，认识并理解勾股定理。（2）通过各种实践活动，培养学生的观察能力、动手操作能力和创新思维能力。（3）在探究新知的活动中，培养审美意识，激发学生学数学、爱数学的情感。3.工作方法：通过自主探索、动手实践、合作交流等学习活动，使学生经历探索、发现和认识勾股定理的获取过程，从中培养学生的观察能力，动手操作能力和语言表达能力。4．利用勾股定理解题的一般步骤是：第一步，根据条件的特征，构造直角三角形（是运用勾股定理解决问题的关键）;第二步，把条件放入所构造的直角三角形中;第三步，运用勾股定理，对所求的问题作出分析解答．BGFEAHDC五、研究进度安排第二周：学生递交论文或设计选题、大纲第三周：指导老师审核论文或设计选题、大纲第四周：指导老师对论文或设计撰写进行指导、学生撰写论文或设计初稿第五周：学生递交论文或设计初稿第六周：指导老师进行论文或设计初期检查，学生对调研报告初稿进行修改第七—八周：学生递交论文或设计二稿第九周：指导老师进行论文或设计中期检查第十周：学生修改论文或设计第十一周：学生递交论文或设计定稿第十二周：论文或设计结题验收，论文或设计答辩准备工作第十三周：论文或设计答辩六、指导教师意见指导教师签字：年月日七、系毕业论文(设计)领导小组意见领导小组组长签字：年月日天津师范大学津沽学院2015届本科毕业论文（设计）指导过程记录学生存在的疑问、问题：指导教师回复：签字：2015年4月3日学生存在的疑问、问题：指导教师回复：签字：2015年4月8日学生存在的疑问、问题：指导教师回复：签字：2015年4月10日天津师范大学津沽学院2015届本科毕业论文（设计）中期检查表论文（设计）的进展情况：（课题工作量是否适中、已完成任务、未完成任务、完成课题存在的问题和解决办法）指导教师意见：签字：年月日备注：