3.2.2函数的奇偶性(中职)

高教社3.2.2函数的奇偶性高教社x如图所示：点P(3,2)关于x轴的对称点是点P1，其坐标为；点P(3,2)关于y轴的对称点是点P2，其坐标为；点P(3,2)关于原点O的对称点是点P3，其坐标为．P1P3P2创设情景兴趣导入问题(3,-2)(-3,2)(-3,-2)(3,-2)(-3,2)(-3,-2)（1）（2）关于什么对称，什么不变高教社.一般地，设点P(a,b)为平面上的任意一点，则（1）点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为；（2）点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标为；（3）点P(a,b)关于原点O的对称点的坐标为。动脑思考探索新知点的对称(a,-b)(-a,b)(-a,-b)高教社.１．求满足下列条件的点的坐标：（1）与点2,1关于x轴对称；（2）与点1,3关于y轴对称；（3）与点2,1关于坐标原点对称；（4）与点1,0关于y轴对称．教材练习3.2.2应用知识强化练习演示0xy0xyyxf(x)=x3Oy=|x|y=xyxf(x)=x2O如果沿着y轴对折，那么对折后y轴两侧的图像完全重合．称函数图像关于y轴对称．y轴叫做函数图像的对称轴．如果将图像沿着坐标原点旋转180°，旋转前后的图像完全重合．这时称函数图像关于坐标原点对称．原点O叫做函数图像的对称中心．奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数若函数y＝f(x)的图像关于y轴对称，则这个函数叫做偶函数.若函数y＝f(x)的图像关于原点O对称，则这个函数叫做奇函数.练习2当x≥0时图像如红色部分所示，根据下列条件，试画出当x0时f(x)的图像。(1,0)1212(-1,0)（1）已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数，（2）已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，(1,0)1212(-1,0)y=x30奇偶函数的单调性y=x2例：奇函数：对称的定义域上单调性相同偶函数：对称的定义域上单调性相反f(a)=；f(-a)=；f(2)=；f(-2)=；则f(1)=；f(-1)=；求值并观察发现规律1.已知=f(x)f(-x)=114Rxxxf,222xxa2a24.543.532.521.510.50.511.56543211234567fx=x21-aa-1xy04.543.532.521.510.50.511.56543211234567fx=x21-22-1xy0偶函数的定义如果对于函数y=f(x)的定义域D内的任意一个x,都有f(-x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数.4高教社2020/3/1-x与x在几何上有何关系？偶函数定义域有何特征？定义域要关于原点对称。思考o[a,b][-b,-a]x-xf(a)=；f(-a)=；求值并观察发现规律则f(1)=；f(-1)=；f(2)=；f(-2)=；2.已知f(x)=x3，=-f(x)f(-x)=(-x)31-18-811yxf(x)=x3O-1-1a3-a3=-x3用类比的方法，得出奇函数的定义.奇函数的定义如果对于函数y=f(x)的定义域D内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数.说明：如果一个函数是奇函数或是偶函数称为函数具有奇偶性。高教社由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数3．非奇非偶函数高教社2020/3/1奇函数、偶函数是函数在定义域上的性质，说明函数的奇偶性是一个局部性质还是整体性质？函数的奇偶性是定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性。思考1偶函数的图象关于什么对称，奇函数的图像又关于什么对称，反过来呢？y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称思考2高教社.函数奇偶性的判断用图像法表示的函数，可以通过对图像对称性的观察判断函数是否具有奇偶性．（1）求出函数的定义域，看其是否满足对任意的x∈D，都有-x∈D，如果存在−x∈D，则函数肯定是非奇非偶函数；（2）分别计算出f(x)与f(−x)，然后根据它们的关系判断函数的奇偶性．动脑思考探索新知演示高教社.分析依照判断函数奇偶性的基本步骤进行．巩固知识典型例题解（1）函数3fxx的定义域为,，是关于原点对称的区间，且33fxxxfx，所以3fxx是奇函数．解（2）221fxx的定义域为,，是关于原点对称的区间，且222121fxxxfx，所以函数221fxx是偶函数．解（3）fxx的定义域是0,，不是一个关于原点对称的区间，所以函数fxx是非奇非偶函数．解（4）1fxx的定义域为,，是关于原点对称的区间，且11fxxx，由于fxfx，并且fxfx，所以函数1fxx是非奇非偶函数．例4判断下列函数的奇偶性：（1）3fxx；（2）221fxx；（3）fxx；（4）1fxx．1,3x判断奇偶性步骤：一看定义域二找关系f(x)=f(x)或f(x)=f(x)三判断奇或偶高教社(1)(2)(3)(4)偶函数非奇非偶函数奇函数非奇非偶函数ooooxxxxyyyy例2、利用图像判断下列函数的奇偶性：3、当____时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数0b2、当____时一次函数f(x)=ax+b(a≠0)是奇函数0b高教社教材P52练习3.2.2应用知识强化练习2.判断下列函数的奇偶性：（1）fxx；（2）21fxx；（3）31fxx；（4）232fxx．课本56页A组第2,3题做书上高教社例3.已知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．练习3同步练P435，6高教社=(x3+2x)=f(x)解:∵f(x)=(x)3+2(x)=x32x∴f(x)为奇函数∵f(x)=2(x)4+3(x)2=2x4+3x2=f(x)∴f(x)为偶函数定义域为R解:定义域为R(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2例4、判断下列函数的奇偶性：两个奇函数的和仍为奇函数两个偶函数的和仍为偶函数注意：这里所说的函数的定义域都关于原点对称高教社.函数y=f(x)不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数．如果一个函数是奇函数或偶函数，那么，就称此函数具有奇偶性．对任意的x∈D，都有−x∈Df(−x)=f(x)图像关于y轴对称称函数为偶函数．f(-x)=-f(x)图像关于原点对称称函数为奇函数．小结高教社2020/3/1再见作业:1、课课练P55-573.2.2