球的切接问题专题

专题：球的切接问题一．知识点1．正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a，球半径为R。如图1，截面图为正方形EFGH的内切圆，得2aR；2与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得aR22。3正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3，以对角面1AA作截面图得，圆O为矩形CCAA11的外接圆，易得aOAR231。4.正四面体的外接球和内切球如图4所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a．由图形的对称性知，点O也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R．正四面体的表面积223434aaS表．正四面体的体积22221234331BEABaAEaVBCDA322212233123aaaa图1图2图3图4BCDAVrS表31，aaaSVrBCDA12631223323表在BEORt中，222EOBEBO，即22233raR，得aR46，得rR3小结:正四面体内切球半径是高的14，外接球半径是高的345.长方体的外接球：即正方体的各顶点都在球面上。设长方体的棱长分别为a，b，c。怎么作平面截图来反映半径和边长的关系？联想正方体的外接球，过长方体的对角面的作截截面图a22cb（4）结论：由图形（4）我们可以发现外接球的半径2222cbaR二、题型与方法归类例1、（1）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以有球的半径R＝332，则该球的表面积为S＝4πR2＝27π.故填27π(2)求棱长为1的正四面体外接球的体积．设SO1是正四面体S－ABC的高，外接球的球心O在SO1上，设外接球半径为R，AO1＝r，则在△ABC中，用解直角三角形知识得r＝33，从而SO1＝SA2－AO21＝1－13＝23，在Rt△AOO1中，由勾股定理得R2＝(23－R)2＋(33)2，解得R＝64，∴V球＝43πR3＝43π(64)3＝68π.变式练习:1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积(C)A．16πB．20πC．24πD．32π2R2已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于(D)A．22B.233C.423D.433解析由题意知V＝43πR3＝32π3，∴R＝2，外接球直径为4，即正方体的体对角线，设棱长为a，则体对角线l＝3a＝4，a＝433.3.半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为________，体积为________．【解析】外切圆柱的底面半径为R，高为2R，∴S表＝S侧＋2S底＝2πR·2R＋2πR2＝6πR2，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3.【答案】6πR2；2πR3例2、已知A、B、C、D是球O面上的四个点，OA、OB、OC两两垂直，且OA＝1,OB＝2,OC＝3，求球的体积与表面积。分析：通过将三棱锥补成长方体。这种方法叫作补形法。解：将三棱锥补成长方体，设外接球的半径为r，则222321)2(r，解得4142r，所以球的表面积S=1442r变式训练：如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=2，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为ACBPA.34B.38C.32D.2答案：A.提示：补成长方体得解.例3：把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．解：四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高362)332(222h．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为3622．例4..已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为．答案：2053.寻求球心是关键，模仿圆心确定的方式，来确定球心——先确定底面的圆心（球的小圆圆心）1O，球心必然在过1O且垂直于平面ABC的垂线上，如图，1112OOPA，圆1O的半径可以通过正弦定理得到1OA=2，于是球半径为5.故球体积为2053.高考题演练1.一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.3πB．4πC．D6π2.正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的侧面是正方形，若底面的边长为a，则该正六棱柱的外接球的表面积是（）A．4πa2B．5πa2C．8πa2D．10πa23.长方体三条棱长分别是AA′=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是（）A．5B．7C．D．4.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）5.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．6.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．7.一个正方体的顶点都在一个球面上，已知这个球的表面积为3π，则正方体的棱长．8.一个正方体的全面积为a2，它的顶点全都在一个球面上，则这个球的表面积为9.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．10.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为．答案：1.解答：由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：．所以球的表面积为：4πR2==3π．2.解答：正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的侧面是正方形，若底面的边长为a，底面对角线的长度为：2a；所以该正六棱柱的外接球的半径为：=．所以该正六棱柱的外接球的表面积是：4πr2==5πa2．3.解答：从A点出发，沿长方体的表面到C′有3条不同的途径，分别从与顶点A相邻的三个面出发，根据勾股定理得到长度分别是，，5，比较三条路径的长度，得到最短的距离是54.D5.解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为6.解答：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．故答案为：87.解答：∵球的表面积为3π，∴球的半径为∵正方体的顶点都在一个球面上，∴正方体的对角线为球的直径设正方体的棱长为a，则∴a=18.解答：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，[来源:学+科+网]依题意知R2=a2，即R2=a2，∴S球=4πR2=4π•a2=．故答案为：．9.解答：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．10.解答：根据几何意义得出：边长为8的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，∴圆的半径为：4，∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm，∴d=8﹣6=2，∴球的半径为：R=，R=5∴球的体积为π×（5）3=πcm3故答案为．