3.2.4二面角及其度量

3.2.4二面角及其度量(1)三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的垂直，则它也和这条斜线垂直．(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的垂直．射影射影课前回忆一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。2AB从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。3定义:AB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5表示方法：lOO1ABA1B1∠AOB∠A1O1B1？以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角9二面角的大小用它的平面角来度量度量：二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB:[0,]范围在二面角α－l－β的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l,则∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角，显然，这个平面角与点O在l上的位置无关.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度。我国发射的第一颗人造卫星的倾斜角是68.5°，这个倾斜角指的人造卫星的轨道平面与地球的赤道平面所成的角。本书中，我们约定，二面角不小于0°，不大于180°。即0°≤θ≤180°平面角是直角的二面角叫做直二面角,互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个平面。１.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角C1-BD-C的正切值是_______.2例题几何法求二面角：1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“算”16三垂线定理法（或逆定理法)垂连求角三垂线法:首先找其中一个半平面的垂线,找不到垂线找垂面(指其中一个半平面的垂面),找到垂面作垂线,构造三垂线定理或逆定理条件得平面角.我们可以用向量的夹角来研究二面角的性质及其度量。m2m1n2n1DCl如图所示，分别在二面角α－l－β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向，作向量1n⊥l，2n⊥l，则我们可以用向量1n与2n的夹角来度量这个二面角。如图，设1m⊥α，2m⊥β，则角12,mm与该二面角相等或互补。l将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中l,,,ABlABCDlCDcoscos,ABCDABCDABCDDCBA三、面面角：1、方向向量法：二面角的范围：[0,]ll二、面面角：二面角的范围：[0,]2法向量法1n1n2n2n12nn，12nn，12nn，12nn，cos12cos,nncos12cos,nn注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角过正方形ABCD的顶点A引SA⊥底面ABCD，并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成45度角，求面SCD与面SAB所成的锐二面角ABCDSOEA(0,0,0),C(1,1,0),1,0),D(0,(0,0,1)S1(0,1,0)SBAnAD易知面的法向量(1,0,0),(0,1,1)CDSD2(,,),SCDnxyz的法向量22,,nCDnSD由得：设平面00xyz2(0,1,1)n任取1212122cos,2||||nnnnnn:1[;,,]SAOABADAS解设建立空间直角坐标系45度例1．如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm,AC=6cm，BD=8cm，CD=cm，求这个二面角的度数。217DCBA解：设,ACBD=x，由已知CA⊥AB，AB⊥BD得0,ACABBDAB,180CABDx，因此22||()CDCAABBD=222||||||2||||cos(180)CAABBDCABDx代入已知线段的长度，得2222(217)648268(cos)x，解得cosx=21，得x=60°.因此所求的二面角的度数是60°.例2．已知：二面角α－l－β的度数为θ(0≤θ≤)，在α面内有△ABC，它在β内的射影为△A’BC，它们的面积分别为S，S’，求证：S’=Scosθ.2A'DCBA证明：不妨假定△ABC的边BC在l上，作BC边的高AD，AD在β内的射影为A’D，根据正射影的性质，知A’D=ADcosθ，S’=BC×A’D=BC×ADcosθ=Scosθ.例3．已知ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求平面SAB与SCD的夹角的正切。21SzyxnDCBA解：令,,BCiABjASk，以A为坐标原点建立空间直角坐标系[O：,,ijk]，则,,ijk为单位正交基底，于是可得(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ijk，1(,0,1),(1,1,1)2SDSC，设平面SCD的法向量为(,,)nxyz，则0,0nSDnSC，用坐标表示得1(,,)(,0,1)02xyz，(,,)(1,1,1)0xyz，即1020xzxyz，把z作为未知数，解得x=2z，y=－z，令z=1，得x=2，y=－1，得n=(2，－1，1)，因此cos,||||ininin=222222(2,1,1)(1,0,0)632(1)1100，设平面SAB与SCD的夹角为θ，由图形知，θ=,in为锐角，所以cosθ=63，tanθ=22.再见例.正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。111CBAABC11BCABCBCD1CADBC1B1A1)0,21,23(aaA)0,,0(aB)0,41,43(aaD),0,0(1bC),,0(1baB解法一(方向向量）：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,则故),21,23(1baaAB),,0(1baBC11,ABBC2211102ABBCab22ba则可设=1，，则B(0,1,0)a22b)0,41,43(D)22,0,0(1CyxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，则〈〉即为二面角的大小1BCCE1BCDFFDEC,CBCD1在中，BCCRt121222211abBCCCEBEC12CEEB12(0,,)33E12(0,,)33EC由于且，所以ACBDABCCC面1DCBD1在中，同理可求BDCRt1)42,21,0(F)42,41,43(FD∴cos〈〉=FDEC,22463341FDECFDEC∴即二面角的余弦值为CBCD122yxzCADBC1B1A1FE解法二（法向量）同法一，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz在坐标平面yoz中1CCB设面的一个法向量为BDC1),,(zyxm同法一，可求B(0,1,0))0,41,43(D)22,0,0(1C)0,43,43(DB)22,41,43(1DC∴可取＝(1,0,0)为面的法向量BCC1∴nyxzCADBC1B1A1由得mDBmDC,113120,442CDmxyz04343yxmDB解得zyx263所以，可取)6,3,3(m二面角的大小等于〈〉CBCD1nm,∴∴cos〈〉=nm,22233nmnm即二面角的余弦值为CBCD122例、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=217cm，求二面角的度数CDAB222222()(217)6482cos,CDCAABBDCABDCABD1cos,21cos,2CABDACBD3E