考研数学知识点-线性代数

考研数学知识点－线性代数Editedby杨凯钧2005年10月1第一讲基本知识二．矩阵和向量1．线性运算与转置①ABBA+=+②()()CBACBA++=++③()cBcABAc+=+()dAcAAdc+=+④()()AcddAc=⑤00=⇔=ccA或0=A。向量组的线性组合sααα,,,21Λ，sscccααα+++Λ2211。转置A的转置TA（或A′）()AATT=()TTTBABA±=±()()TTAccA=。3．n阶矩阵n行、n列的矩阵。对角线，其上元素的行标、列标相等Λ,,2211aa对角矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛*000*000*数量矩阵E3300030003=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛单位矩阵IE或⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100010001上（下）三角矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛*00**0***对称矩阵AAT=。反对称矩阵AAT−=。三．矩阵的初等变换，阶梯形矩阵初等变换分⎩⎨⎧初等列变换初等行变换三类初等行变换①交换两行的上下位置BA→②用非零常数c乘某一行。③把一行的倍数加到另一行上（倍加变换）阶梯形矩阵34120100000320001521002014⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−①如果有零行，则都在下面。②各非零行的第一个非0元素的列号自上而下严格单调上升。或各行左边连续出现的0的个数自上而下严格单调上升，直到全为0。台角：各非零行第一个非0元素所在位置。简单阶梯形矩阵：3．台角位置的元素都为14．台角正上方的元素都为0。每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。如果A是一个n阶矩阵A是阶梯形矩阵⇒A是上三角矩阵，反之不一定，如⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100010100是上三角，但非阶梯形四．线性方程组的矩阵消元法用同解变换化简方程再求解三种同解变换：①交换两个方程的上下位置。②用一个非0数c乘某一个方程。③把某一方程的倍数加到另一个方程上去，它在反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。考研数学知识点－线性代数Editedby杨凯钧2005年10月2矩阵消元法：①写出增广矩阵()βA，用初等行变换化()βA为阶梯形矩阵()γB。②用()γB判别解的情况。i）如果()γB昀下面的非零行为()d0,,0Λ，则无解，否则有解。ii）如果有解，记γ是()γB的非零行数，则n=γ时唯一解。nγ时无穷多解。iii）唯一解求解的方法（初等变换法）去掉()γB的零行，得()00γB，它是()cnn+×矩阵，0B是n阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=−−nnnnbbbbB11221100000*000**00***0****Ο则0≠nnbiinnbbΛ⇒≠⇒−−011都不为0。于是把()00γB化出的简单阶梯形矩阵应为⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ncccΜΟ21100000000100001其方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===,,,2211nncxcxcxΜ即()nccc,,,21Λ就是解。第二讲行列式一．形式与意义nnnnnnaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛ212222111211A是n阶矩阵，A表示相应的行列式。二．定义（完全展开式）bcaddcba−=一个n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛ212222111211的值：①是!n项的代数和②每一项是n个元素的乘积，它们共有!n项nnjjjaaaΛ2121其中njjjΛ21是n,,2,1Λ的一个全排列。③nnjjaaΛ11前面乘的应为()()njjjΛ211τ−()njjjΛ21τ的逆序数n,,2,1Λ()()∑−=nnnjjjnjjjjjjaaaΛΛΛ212121211τ考研数学知识点－线性代数Editedby杨凯钧2005年10月3()()()nnnnbbbbbbΛΝΛ21211211*****0*00000−−=τ()()()212112−==−nnCnnnΛτ三．计算（化零降阶法）余子式和代数余子式称ijM为ija的余子式。()ijjiijMA+−=1定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。nnAaAaAaD2222222121+++=Λ四．行列式的其它性质1．转置值不变AAT=2．用一个数c乘某一行（列）的各元素值乘cAccAn=3．行列式和求某一行（列）分解γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+()321,,ααα=A，3阶矩阵()321,,βββ=BBABA+≠+()332211,,βαβαβα+++=+BA332211,,βαβαβα+++=+BA3322133221,,,,βαβαββαβαα+++++=4．第一类初等变换使值变号5．如果一个行列式某一行（列）的元素全为0或者有两行（列）的元素成比例关系，则行列式的值为0。6．一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。7．BABABA=∗=∗008．范德蒙行列∏−=jiijnaaaaa)(11111ΛΛ2nC个五．元素有规律的行列式的计算六．克莱姆法则克莱姆法则：设线性方程组的系数矩阵A是n阶矩阵（即方程个数=m未知数个数n），则0≠A时，方程组唯一解，此解为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ADADADn,,,21ΛiD是A的第i列用⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛nbbbΜ21代替后所得n阶行列式：0=A时，解如何？即唯一解?⇒0≠A？改进：⇔≠0A唯一解证明：()()rBA⎯→⎯行β00≠⇔≠BA考研数学知识点－线性代数Editedby杨凯钧2005年10月4()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=rbbbrBnn000*00**0***2211Ο若0≠B，则0≠iib,i∀，故唯一解。若唯一解，则()rB|有n个非零行，且昀下面的非零行不是()d|0,,0Λ于是0≠nnb，从而每0≠iib。∏=≠=niiibB10求解方法：()()()ηβErBA⎯→⎯⎯→⎯行行η就是解。对于齐次方程组⇔≠0A只有零解。第三讲矩阵一．矩阵的乘法1．定义与规律定义：设A与B是两个矩阵如果A的列数等于B的行数，则A可以乘B，乘积也是一个矩阵，记作AB。当A是nm×矩阵，B是sn×矩阵时，AB是sm×矩阵。AB的()ji,位元素是A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和。njinjijiijbababaC+++=Λ2211遵循的规律①线性性质()BABABAA2121+=+，()2121ABABBBA+=+()()()cBAABcBcA==②结合律()()BCACAB=③()TTTABAB=与数的乘法的不同之处无交换律，无消去律当0=AB时0=⇒/A或0=B由0≠A和00=⇒/=BAB由0≠A时CBACAB=⇒/=（无左消去律）2．n阶矩阵的方幂与多项式任何两个n阶矩阵A与B可乘，并且AB仍是n阶矩阵。行列式性质：BAAB=A是n阶矩阵48476Λ个kkAAAA=，EA=0lklkAAA+=()kllkAA=但是()kkkBAAB=不一定成立！设()0111axaxaxaxfkkkk++++=−−Λ，A是n阶矩阵，规定()EaAaAaAaAfkkkk0111++++=−−Λ问题：数的乘法公式，因式分解等对矩阵是否仍成立？()2222BABABA++=+？()()BABABA+−=−22？‖22BBAABA+++障碍是交换性当BAAB=时，()∑=−=+kiiikikkBACBA0一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如()()EAEAEAA+−=−−33223．乘积矩阵的列向量与行向量（1）设nm×矩阵()nAααα,,,21Λ=，n维列向量()Tnbbb,,,21Λ=β，则nnbbbAαααβ+++=Λ2211考研数学知识点－线性代数Editedby杨凯钧2005年10月5⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛++++++=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333322311233222211133122111321333231232221131211321abababababababababbbbaaaaaaaaaααα332211332313332221223121111αααbbbaaabaaabaaab++=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=应用于方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaΛΛΛΛ22112222212111212111记A是系数矩阵，()nAααα,,,21Λ=，设()Tnxxx,,1Λ=，则⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+++++++++=nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaAxΛΛΛΛ221122221211212111，方程组的矩阵形式β=Ax，()()Tmbbb,,,21Λ=β方程组的向量形式βααα=+++nnxxxΛ2211（2）设CAB=，记()sBβββ,,,21Λ=，()srrrC,,,21Λ=则siArii,,2,1,Λ==β或()sAAAABβββ,,,21Λ=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ,,,,12111222222111211212222111211mnsnnssmnmmnncccbbbbbbbbbaaaaaaaaa于是nniiiiibbbArαααβ+++==Λ2211即AB的第i个列向量ir是A的列向量组nααα,,,21Λ的线性组合，组合系数是B的第i个列向量的各分量。类似地：AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数是A的第i个行向量的各分量。TTTCAB=对角矩阵从右侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各列向量。对角矩阵从左侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各行向量。于是AAE=，AEA=()kAkEA=，()kAAkE=两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘对角矩阵的k次方幂只须把每个对角线上元素作k次方幂。4．初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。共有3种初等矩阵（1）()jiE,：交换E的第ji,两行或交换E的第ji,两列5=n，()⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=10000000100010001000000014,2E（2）())(ciE：用数()0≠c乘E的第i行或第i列5=n，()⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=100000100000100000000001)(2ccE（3）())(,cjiE：把E的第j行的c倍加到第i行上，或把E的第i列的c倍加到第j列上。考研数学知识点－线性代数Editedby杨凯钧2005年10月65=n，()⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=100000100000100000100001)(4,1ccE命题：初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行（列）变换。()())(4,1,,,,54321cEααααα()⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=100000100000100000100001,,,,54321cααααα()541321,,,,αααααα+=c5．矩阵分解6．乘法的分块法则一般法则：在计算两个矩阵A和B的乘积时，可以先把A和B用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A的纵向分割与B的横向分割一致。两种常用的情况（1）BA,都分成4块⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211AAAAA，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211BBBBB其中1iA的列数和jB1的行数相等，2iA的列数和jB2的行数相关。⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=22221221212211212212121121121111BABABAAABABABABAAB（2）准对角矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛kkAAAΛΟΛΛ0000002211⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛kkkkkkkkBABABABBBAAA0000000000000000002222111122112211ΟΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΟΜΛΛ对一个n阶矩阵A