圆的切线的性质及判定定理

●O●O相交●O相切相离rrr┐dd┐d┐直线与圆的位置关系有哪些？怎么判断？这些判断是从哪些角度来思考的？思考1【温故知新】代—圆心到直线的距离与半径的关系直线与圆的位置关系——直线与圆的方程联立的方程组的解的个数数几何如果要画出过圆上某点的切线，该怎样画？能否仿照上节研究圆内接四边形的判定定理的方法来得出一个圆的切线的判定定理呢？思考2【温故知新】切线的性质切线的判定定理【温故知新】OlM反证法这与“直线l是圆O的切线”矛盾.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径证明：假设l与OA不垂直,作OM⊥l于M因“垂线段最短”,故OAOM,即圆心到直线的距离小于半径.A故直线l与圆O一定垂直.【切线的性质定理】OlMA因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所以，经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心.由此得到：推论１：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论２:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的逆命题是什么？是否成立?思考2【切线的性质定理】切线的判定定理:经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.AOlB直线与圆只有一个公共点,是切线.在直线上任取异于A的点B.连OB.则在Rt△OAB中OBOA=r故B在圆外【切线的判定定理】例1如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.证明:连接OD.∴OD是△ABC的中位线,∴OD//AC.又∵∠DEC=90º∴∠ODE=90º又∵D在圆周上,OD是半径∴DE是⊙O的切线..AOBDCE∵BD=CD,OA=OB,【例题解析】例2如图.AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D,求证:AC平分∠DAB.ABOCD证明:连接OC,∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.∵OC=OA.∴∠CAO=∠ACO.∴∠CAD=∠CAO.故AC平分∠DAB.∵CD是⊙O的切线,由此得∠ACO=∠CAD.【例题解析】例3作经过一定点C的圆的切线．COO.C(1)点C在圆上．(２)点C在圆外．作法：连接OC，过点C作AB⊥OC．则直线AB就是所要作的切线．BA作法：连接OC,以OC为直径的圆为⊙O1，与⊙O相交于两点P和P′.连接CP和CP′,则CP和CP′都是过已知点C所引⊙O的切线．PP′O1你能证明吗？【例题解析】OCAB练习1.如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC，∠C＝30°.求证：直线AB是⊙O的切线.证明：连结OB,∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°∴∠OBC=∠C=∠A=30°∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)=180°－(60°+30°)=90°∴AB是⊙O的切线.题目中“半径”已有，只需证“垂直”,即可得直线与圆相切.【巩固练习】CABDO∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°,∴∠BOC＝60°.∴△BOC是等边三角形.∴BD＝OB＝BC，∠D＝∠BCD＝30°.∴∠DCO＝90°.∴DC⊥OC.∴DC是⊙O的切线.练习2．已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB的延长线上，BD＝OB，C在圆上，∠CAB＝30°,求证：DC是⊙O的切线.证明：连OC、BC，【巩固练习】练习3若Rt△ABC内接于⊙O,∠A=30°.延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径,求证：DC是⊙O的切线.DCAB.O3003001200600600600分析:如图【巩固练习】习题2.31.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D.ABOCD求证:AC与⊙O相切.E2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过Q作⊙O的切线交OA的延长线于R,.求证:RP=RQBOPARQ∠AQO=∠APQ3.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证:DC是⊙O的切线.AOBCD1324△COD与COB全等