概率论与数理统计--样本空间、随机事件

一、样本空间样本点三、随机事件间的关系及运算二、随机事件的概念四、小结第二节样本空间、随机事件的集合的所有可能结果所组成一个随机试验E的称为随机试验E记为.S,,称为的每个结果即样本空间中的元素E.样本点,样本空间样本点e.S现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具.一、样本空间实例1将一枚硬币抛掷两次,观察正面H、反面T出现的情况:S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现.则样本空间实例2抛掷一枚骰子,观察出现的点数.}.6,5,4,3,2,1{2S实例3记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.}.,2,1,0{4S实例4从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.}.0{6ttS.t的寿命为灯其中泡实例5记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数..},2,1,0{7S2.同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.例如对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面H、反面T出现的情况,则样本空间为若观察出现正面的次数,则样本空间为.}3,2,1,0{S}.,,,,,,,{TTTTHTTTHHTTTHHHTHHHTHHHS说明1.试验不同,对应的样本空间也不同.说明3.建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.},{THS所以在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间.随机事件随机试验E的样本空间S的子集称为E的随机事件,简称事件.通常以大写英文字母A,B,C,来表示事件。试验中,骰子“出现1点”,“出现2点”,…,“出现6点”,“点数不大于4”,“点数为偶数”等都为随机事件.实例抛掷一枚骰子,观察出现的点数.1.基本概念二、随机事件的概念实例上述试验中“点数不大于6”就是必然事件.必然事件随机试验中必然会出现的结果.不可能事件随机试验中不可能出现的结果.实例上述试验中“点数大于6”就是不可能事件.实例“出现1点”,“出现2点”,…,“出现6点”.基本事件:由一个样本点组成的单点集.(相对于观察目的不可再分解的事件)（1）当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称事件A发生.如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.:样本空间为.654321,,,,,S事件B={掷出奇数点}1,3,5B发生当且仅当B中的样本点1,3,5中的某一个出现.2.几点说明(2)随机试验、样本空间与随机事件的关系每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.随机试验样本空间子集随机事件随机事件基本事件必然事件不可能事件复合事件两个特殊事件.),2,1(,,,的子集是而的样本空间为设试验SkABASEk1.包含关系若事件A出现,必然导致B出现,则称事件B包含事件A,记作.BAAB或实例“长度不合格”必然导致“产品不合格”所以“产品不合格”包含“长度不合格”.图示B包含A.SBA三、随机事件间的关系及运算2.A等于B若事件A包含事件B，而且事件B包含事件A，则称事件A与事件B相等，记作A=B.3.事件A与B的并(和事件).}{和事件的事件与称为事件或事件BABxAxxBA实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.图示事件A与B的并.SBABA;,,,211的和事件个事件为称推广nknkAAAnA4.事件A与B的交(积事件).ABBA或积事件也可记作.,,211的和事件为可列个事件称AAAkk.}{积事件的与事件称为事件且事件BABxAxxBA图示事件A与B的积事件.SABAB实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.和事件与积事件的运算性质,AAA,SSA,AA,AAA,ASA.A;,,,211的积事件个事件为称推广nnkkAAAnA.,,211的积事件为可列个事件称AAAkk5.事件A与B互不相容(互斥)若事件A的出现必然导致事件B不出现,B出现也必然导致A不出现,则称事件A与B互不相容,即.ABBA实例抛掷一枚硬币,“出现花面”与“出现字面”是互不相容的两个事件.“骰子出现1点”“骰子出现2点”图示A与B互斥.SAB互斥实例抛掷一枚骰子,观察出现的点数.6.事件A与B的差由事件A出现而事件B不出现所组成的事件称为事件A与B的差.记作A-B.图示A与B的差.SABSABABABBABA实例“长度合格但直径不合格”是“长度合格”与“直径合格”的差.ABABABA设A表示“事件A出现”,则“事件A不出现”称为事件A的对立事件或逆事件.记作.A实例“骰子出现1点”“骰子不出现1点”图示A与B的对立.SBA若A与B互逆,则有.ABSBA且A7.事件A的对立事件对立对立事件与互斥事件的区别SSABABAA、B对立A、B互斥ABSBA且AB互斥对立事件间的运算规律.,)1(BAABABBA交换律),()()2(CBACBA结合律,)()()()3(BCACCBCACBA分配律.,:(4)BABABABA摩根律德则有为事件设,,,CBA).()(BCACAB).)(()()()(CBCACBCACBA例1设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.(1)A出现,B,C不出现;(5)三个事件都不出现;(2)A,B都出现,C不出现;(3)三个事件都出现;(4)三个事件至少有一个出现;(6)不多于一个事件出现;(7)不多于两个事件出现;(8)三个事件至少有两个出现;(9)A,B至少有一个出现,C不出现;(10)A,B,C中恰好有两个出现.解;)1(CBA;)2(CAB;)3(ABC;)4(CBA;)5(CBA;)8(BCACBACABABC;)()9(CBA.)10(BCACBACAB;ABC或;)6(CBACBACBACBA,)7(BCACBACABCBACBACBACBA(1)没有一个是次品;(2)至少有一个是次品;(3)只有一个是次品;(4)至少有三个不是次品;(5)恰好有三个是次品;(6)至多有一个是次品.解;)1(4321AAAA:,)4,3,2,1(,示下列各事件表试用个零件是正品产的第表示他生零件设一个工人生产了四个iiAiiA2例4321432143214321)2(AAAAAAAAAAAAAAAA4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA43214321AAAAAAAA43214321AAAAAAAA43214321AAAAAAAA,4321AAAA;4321AAAA或;)3(4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA4321432143214321)4(AAAAAAAAAAAAAAAA;4321AAAA;)5(4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA.)6(43214321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA例3若用事件A表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则事件表示（）。AA．甲产品滞销，乙产品畅销;B.甲、乙两产品均畅销;Ｃ.甲产品滞销;Ｄ．甲产品滞销或乙产品畅销.ABABABABABAB又若：ABAB故即：，：由（1）（2）知：A与B互为逆事件。（2）例4、若，则A与B互为逆事件。ABAB证明：如果ABABxABxAB且而,xABxAxB,,xABxAxBxAxB矛盾，从而：AB（1）随机试验样本空间子集随机事件随机事件基本事件必然事件不可能事件复合事件四、小结1.随机试验、样本空间与随机事件的关系2.概率论与集合论之间的对应关系记号概率论集合论S样本空间，必然事件空间不可能事件空集e基本事件元素A随机事件子集AA的对立事件A的补集BAA出现必然导致B出现A是B的子集BA事件A与事件B相等集合A与集合B相等BA事件A与事件B的差A与B两集合的差集AB事件A与B互不相容A与B两集合中没有相同的元素BA事件A与事件B的和集合A与集合B的并集AB事件A与事件B的积事件集合A与集合B的交集