概率论1-3-第三节-频率与概率

一、频率的定义与性质二、概率的定义与性质三、小结第三节频率与概率).(,.,,,AfAnnAnAnnnAA成并记发生的频率称为事件比值生的频数发称为事件发生的次数事件次试验中在这次试验进行了在相同的条件下1.定义一、频率的定义与性质2.性质设A是随机试验E的任一事件,则;1)(0)1(Afn;0)(,1)()2(fSf).()()()(,,,,)3(212121knnnkkAfAfAfAAAfAAA则是两两互不相容的事件若试验序号5nHnf12345672315124Hnf50n22252125241827Hn500n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7遍,观察正面出现的次数及频率.处波动较大在21波动最小随n的增大,频率f呈现出稳定性处波动较小在21从上述数据可得(2)抛硬币次数n较小时,频率f的随机波动幅度较大,但随n的增大,频率f呈现出稳定性.即当n逐渐增大时频率f总是在0.5附近摆动,且逐渐稳定于0.5.(1)频率有随机波动性,即对于同样的n,所得的f不一定相同;实验者德摩根蒲丰nHnf皮尔逊K皮尔逊K204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(Hf的增大n.21我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验高尔顿(Galton)板试验.试验模型如下所示:自上端放入一小球,任其自由下落,在下落过程中当小球碰到钉子时,从左边落下与从右边落下的机会相等.碰到下一排钉子时又是如此.最后落入底板中的某一格子.因此,任意放入一球,则此球落入哪一个格子,预先难以确定.但是如果放入大量小球,则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样的.单击图形播放/暂停ESC键退出请看动画演示重要结论频率当n较小时波动幅度比较大，当n逐渐增大时，频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的概率．医生在检查完病人的时候摇摇头：“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.”医生的说法对吗?请同学们思考.当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说：“但你是幸运的．因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.”1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展.二、概率的定义与性质柯尔莫哥洛夫资料:)(,,)(,.,满足下列条件如果集合函数的概率件称为事记为赋予一个实数的每一事件对于是它的样本空间是随机试验设PAAPAESE;0)(,:(1)APA有对于每一个事件非负性;1)(,:(2)SPS有对于必然事件规范性则有即对于事件是两两互不相容的设,,2,1,,,,,,:(3)21jiAAjiAAji可列可加性)()()(2121APAPAAP概率的可列可加性1.概率的定义.0)()1(P证明),,2,1(nAn.,,1jiAAAjinn且则由概率的可列可加性得nnAPP1)(1)(nnAP1)(nP0)(P.0)(P2.性质概率的有限可加性证明,21nnAA令.,2,1,,,jijiAAji由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP1)(kkAP0)(1nkkAP).()()(21nAPAPAP则有是两两互不相容的事件若,,,,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP).()()(),()(,,,)3(APBPABPBPAPBABA则且为两个事件设证明BA,BA因为).(ABAB所以,)(AAB又.)()()(ABPAPBP得,0)(ABP又因).()(BPAP故).()()(APBPABP于是).(1)(,)5(APAPAA则的对立事件是设证明,1)(,,SPAASAA因为).(1)(APAP.1)(,)4(APA对于任一事件SA,1)()(SPAP.1)(AP故证明)()(1AAPSP所以.)()(APAP).()()()(,)()6(ABPBPAPBAPBA有对于任意两事件加法公式证明AB由图可得),(ABBABA,)(ABBA且).()()(ABBPAPBAP故又由性质3得因此得AB),()()(ABPBPABBP).()()()(ABPBPAPBAP推广三个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAPn个事件和的情况)(21nAAAPnjijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP解),()()1(BPABP由图示得.21)()(BPABP故)()()()2(APBPABP由图示得.613121.81)()3(;)2(;)1(.)(,2131,ABPBABAABPBA互斥与的值三种情况下求在下列和的概率分别为设事件BASSAB1例()()(),PBPBAPBA\=+)()()(ABPBPABP因而.838121SABBABA,ABBAB=由示得(3),φ=ABBA且).()()(),()(,,,)4(BPAPBAPBPAPBABA则且为两个事件设1.频率(波动)概率(稳定).n2.概率的主要性质,1)(0)1(AP;0)(,1)(PSP);(1)()2(APAP);()()()()3(ABPBPAPBAP三、小结Born:25Apr.1903inTambov,Tambovprovince,RussiaDied:20Oct.1987inMoscow,Russia柯尔莫哥洛夫资料AndreyNikolaevichKolmogorov