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二次函数--中考复习案1基础自主导学1.抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标是()A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)答案:A2.在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x1B.x1C.x-1D.x-1答案:A3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则下列结论正确的是()A.a0B.c0C.b2-4ac0D.a+b+c0答案:D2基础自主导学4.把抛物线y=-x2向左平移1个单位长度,然后向上平移3个单位长度,则平移后抛物线的解析式为()A.y=-(x-1)2-3B.y=-(x+1)2-3C.y=-(x-1)2+3D.y=-(x+1)2+3答案:D5.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图,则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,另一个解x2=.答案:-13基础自主导学6.函数y=x2+2x+1,当y=0时,x=;当1x2时,y随x的增大而(填写“增大”或“减小”).解析:当y=0时,x2+2x+1=0,解得:x=-1,∵函数y=x2+2x+1的图象开口向上,对称轴是x=-1,∴当x-1时,y随x的增大而增大.当1x2时,x-1,∴y随x的增大而增大.答案:-1增大4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点1二次函数的图象及性质【例1】(1)二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是()A.(-1,8)B.(1,8)C.(-1,2)D.(1,-4)(2)已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=1,且经过点(-1,y1),(2,y2),试比较y1和y2的大小:y1_______y2.(填“”“”或“=”)解析:(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求.则-𝑏2𝑎=--62×(-3)=-1,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎=4×(-3)×5-(-6)24×(-3)=8.所以二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是(-1,8).故选A.5规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7(2)点(-1,y1),(2,y2)不在对称轴的同一侧,不能直接利用二次函数的增减性来判断y1,y2的大小,可先根据抛物线关于对称轴的对称性,再用二次函数的增减性即可.设抛物线经过点(0,y3),因为抛物线对称轴为直线x=1,所以点(0,y3)与点(2,y2)关于直线x=1对称.则y3=y2.又a0,所以当x1时,y随x的增大而减小.则y1y3.故y1y2.答案:(1)A(2)6规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点77规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点2利用二次函数图象判断a,b,c的符号【例2】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2.下列结论:①4a+b=0;②9a+c3b;③8a+7b+2c0;④当x-1时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:因为对称轴为直线x=2,所以-=2,所以4a+b=0,所以①正确;因为当x=-3时,9a-3b+c0,所以9a+c3b,所以②错误;易知a0,b0,c0,又因为4a+b=0,所以8a+7b+2c=-2b+7b+2c=5b+2c0,所以③正确;因为当x2时,y的值随x值的增大而减小,所以④错误.所以正确的有2个.故选B.答案:B𝑏2𝑎8规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点79规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7变式训练已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,有下列结论:①b2-4ac0;②abc0;③8a+c0;④9a+3b+c0.其中,正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:由图象知,抛物线与x轴有两个交点,则b2-4ac0,故①正确;与y轴交于负半轴,则c0,开口向上,则a0,对称轴x=-=1,b=-2a0,则abc0,故②正确;当x=-2时,y0,此时y=4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c0,故③正确;x=1是抛物线的对称轴,由图象知抛物线与x轴的正半轴的交点在3与4之间,则当x=3时,y0,即y=9a+3b+c0,④正确,即正确结论有4个.答案:D𝑏2𝑎101112【分析】根据反比例函数图象一次函数图象经过的象限，即可得出＜0、c＞0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．故选：A．【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出＜0、c＞0是解题的关键．规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点3二次函数图象的平移【例3】将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为()A.y=(x-1)2+4B.y=(x-4)2+4C.y=(x+2)2+6D.y=(x-4)2+6解析:∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2,∴向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的解析式为y=(x-1-3)2+2+2,即y=(x-4)2+4.故选B.答案:B13规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点714规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点4确定二次函数的解析式【例4】已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).(1)求该抛物线的表达式;(2)求该抛物线的顶点坐标.解法一:(1)设这个抛物线的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0).由已知抛物线经过A(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点,得4𝑎-2𝑏+𝑐=0,𝑎+𝑏+𝑐=0,4𝑎+2𝑏+𝑐=8,解这个方程组,得𝑎=2,𝑏=2,𝑐=-4.所以所求抛物线的表达式为y=2x2+2x-4.(2)y=2x2+2x-4=2𝑥+122−92,所以该抛物线的顶点坐标是-12,-92.15规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7解法二:(1)设这个抛物线的表达式为y=a(x-x1)(x-x2).由点A和点B的坐标,得y=a(x+2)(x-1).由点C的坐标,可得8=a×(2+2)×(2-1),解得:a=2.所以y=2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4,即所求抛物线的表达式为y=2x2+2x-4.(2)由y=2x2+2x-4,得-𝑏2𝑎=-22×2=-12,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎=4×2×(-4)-224×2=-92.所以该抛物线的顶点坐标是-12,-92.16规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点717规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点5求二次函数的最大(小)值【例5】已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,当-5≤x≤0时,下列说法正确的是()A.有最小值-5,最大值0B.有最小值-3,最大值6C.有最小值0,最大值6D.有最小值2,最大值6解析:由二次函数的图象,得当x=-5时,y=-3;当x=-2时,y=6;当x=0时,y=2.∵-5≤x≤0,∴-3≤y≤6.故选B.答案:B18规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点719规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点6二次函数与一元二次方程的关系【例6】若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1≠x2,有下列结论:①x1=2,x2=3;②m-;③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其中,正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:因式分解求方程的解,右边应化为0,而现在方程右边为m,所以①错误;方程可化简为x2-5x+6-m=0,则Δ=52-4(6-m)0,可解出m-,所以②正确;二次函数可化简为y=x2-(x1+x2)x+x1x2+m,由根与系数的关系,x1+x2=5,x1x2=6-m,∴y=x2-5x+6-m+m,即y=x2-5x+6,则此二次函数与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0),所以③正确.故选C.答案:C141420规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点721规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点7二次函数的实际应用【例7】如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3.(1)求该抛物线所对应的函数关系式;(2)求△ABD的面积;(3)将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?请说明理由.22规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7解:(1)因为四边形OCEF为矩形,OF=2,EF=3,所以点C的坐标(0,3),点E的坐标为(2,3).把x=0,y=3;x=2,y=3分别代入y=-x2+bx+c中得𝑐=3,3=-4+2𝑏+𝑐,解之得𝑐=3,𝑏=2.所以抛物线所对应的函数关系式为y=-x2+2x+3.(2)因为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以抛物线的顶点坐标为(1,4).所以在△ABD中AB边上的高为4,令y=0,得-x2+2x+3=0,解之得,x1=-1,x2=3,所以AB=3-(-1)=4.于是△ABD的面积为.(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°,CO落在CE所在的直线上,又由(2)可知,OA=1,所以点A的对应点G的坐标为(3,2).当x=3时,y=-32+2×3+3=0≠2,所以点G不在该抛物线上.12×4×4=823规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7242526【分析】（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；（2）构建方程即可解决问题；（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题；【解答】解：（1）W1=（x﹣6）（﹣x+26）﹣80=﹣x2+32x﹣236．（2）由题意：20=﹣x2+32x﹣236．解得：x=16，答：该产品第一年的售价是16元．（3）由题意：7≤x≤16，W2=（x﹣5）（﹣x+26）﹣20=﹣x2+31x﹣150，∵7≤x≤16，∴x=7时，W2有最小值，最小值=18（万元），答：该公司第二年的利润W2至少为18万元．27282920．（8分）如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为m，到墙边OA的距离分别为m，m．（1）求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；（2）若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？30