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第三章图形的平移与旋转北师大版八年级下册CONTENT目录1、图形的平移2、图形的旋转3、中心对称4、简单的图案设计3.1图形的平移课前预习1.将线段AB向左平移5cm得到线段CD,若AB=3cm,则CD的长为_______.2.如图3-1-1,将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置,若∠CAB=50°,∠ABC=100°,则∠CBE的度数为_______.3cm30°3．如图3-1-2所示，已知线段AB的端点A平移到位置C，作出线段AB平移后的图形．作法（1）：连接AC，再过点B作线段BD，使BD满足_____________和_____________，连接CD，则CD即为所作的图形．作法（2）：过点C作线段CD，使CD满足____________和________________，那么CD即为所作的图形．4.将点P（2，4）向右平移3个单位，得到的点的坐标是_________________;将点P（2，4）向左平移3个单位，得到的点的坐标是_________________;将点P（2，4）向上平移3个单位，得到的点的坐标是_________________;将点P（2，4）向下平移3个单位，得到的点的坐标是_________________.BD∥ACBD=ACCD∥ABCD=AB（5，4）（－1，4）（2，7）（2，1）名师导学新知1平移的概念在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．【例1】下列现象是数学中的平移的是（）A．坐在秋千上的人的运动B．抽屉的拉开C．碟片在光驱中运行D．投影片的文字经投影变换到屏幕解析本题考查了图形的平移.图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小.坐在秋千上的人的运动不是沿直线运动，不符合平移的定义，不属于平移；抽屉的拉开沿直线运动，符合平移的定义，属于平移；碟片在光驱中运行是旋转；投影片的文字经投影变换到屏幕，大小发生了变化，不符合平移的定义，不属于平移．故选B．答案B举一反三1.在如图所示的四幅图案中，能通过平移得到图3-1-3的图形的是（）C2.如图3-1-4的（2）（3）（4）（5）（6）中，可以通过平移图案（1）得到的是（）A.（2）B.（3）C.（3）（6）D.（2）（3）（4）（5）（6）B3.在等腰△ABC中，AB=AC，则有BC边上的中线，高线和∠BAC的平分线重合于AD（如图3-1-5①）.若将等腰△ABC的顶点A向右平行移动后，得到△A′BC（如图3-1-5②），那么，此时BC边上的中线、BC边上的高线和∠BA′C的平分线应依次分别是________，________，_______.（填A′D,A′E或A′F）A′DA′FA′E新知2平移的性质（1）对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连的线段平行（或共线）且相等．因为经过平移，图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离．平移变换前后的两条对应线段的四个端点，所围成的四边形为平行四边形（这四点“共线”除外）．（2）对应角分别相等，且对应角的两边分别平行（或共线）、方向一致．（3）平移后的图形与原图形全等．因为平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．【例2】如图3-1-6，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论错误的是（）A.△ABC≌△DEFB.∠DEF=90°C.AC=DFD.EC=CF解析由平移的性质，平移前后的两个图形全等，得△ABC≌△DEF成立，则∠DEF=90°与AC=DF均成立，所以只有D错误.注意把握两点：一是平移的方向和平移的距离；二是平移不改变图形的形状和大小，平移前后两图形全等可以得到线段的关系和角的关系等.答案D举一反三如图3-1-7，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，求四边形ABFD的周长.解：根据题意，将周长为16cm的△ABC沿BC向右平移2cm得到△DEF，∴AD=2cm，BF=BC+CF=BC+2cm，DF=AC.又∵AB+BC+AC=16cm，∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC=20cm.新知3平移作图的方法和步骤（1）认真审题，分析条件，找出平移方向和平移距离．（2）分析所作的图形，找出构成图形的关键点．（3）沿一定的方向，按一定的距离平移各关键点．（4）连接所作的关键点，并标上相应字母．（5）写出结论．注意：平移方向、平移距离是平移作图的关键．【例3】如图3-1-8所示，画出△ABC沿PQ方向平移1.5cm后的图形．解析本题考查的是平移变换作图．平移作图时，找关键点的对应点是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．根据平移作图的方法作图即可：过A，B，C分别做PQ的平行线，并且在平行线上截取BE=CF=AD=1.5cm，连接ED，EF，DF，得到的△DEF即为平移后的图形．解如图3-1-9所示，△DEF即为平移后的图形．如图3-1-10，△ABC后的图形是△A′B′C′，其中C与C′是对应点，请画出平移后的三角形△A′B′C′．举一反三解：如答图3-1-1，（1）连接CC′，过点C作A′C′∥AC，且相等，再过点A′，作A′B′∥AB且相等，再连接B′C′，则△A′B′C′就是所要画的三角形．新知4平移的坐标变化（1）横坐标加一个正数（纵坐标不变），点向右平移；横坐标减一个正数（纵坐标不变），点向左平移.（2）纵坐标加一个正数（横坐标不变），点向上平移；纵坐标减一个正数（横坐标不变），点向下平移.【例4】如图3-1-11，△A1B1C1是△ABC向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为A1（1，1），B1（4，2），C1（3，4）.（1）请画出△ABC，并写出点A，B，C的坐标；（2）求出△AOA1的面积.解析（1）△A1B1C1是由△ABC向右平移4个单位得到的，故将△A1B1C1向左平移4个单位即是△ABC.（2）由平移的性质知，A1A平行于x轴，且等于平移距离4，△A1OA边A1A上的高可由点A1的坐标确定.解（1）△ABC如图3-1-12所示：（2）∵A1A=4，OD=1，举一反三如图3-1-13所示，△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为A（1，2）,B（4，3）,C（3，1）.把△A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到△ABC，试写出△A1B1C1三个顶点的坐标.解：设△A1B1C1的三个顶点的坐标分别为A1（x1,y1）,B1（x2,y2）,C1（x3,y3）,将它的三个顶点分别向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，则此时三个顶点的坐标分别为（x1+4,y1-3）,（x2+4,y2-3）,（x3+4,y3-3）,由题意可得x1+4=1,y1-3=2,x2+4=4,y2-3=3,x3+4=3,y3-3=1,所以A1（-3,5），B1（0,6），C1（-1,4）.3.2图形的旋转课前预习1.平面图形的旋转一般情况下改变图形的（）A.位置B.大小C.形状D.性质2.9点钟时，钟表的时针和分针之间的夹角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°3．小于10的自然数中，旋转180°后不改变形状的数字有____________．AD0，1，84．如图3-2-1所示，△ABC绕点A旋转到△ADE的位置，在这个过程中，旋转中心是______，旋转角是___________________，相等的线段有_________组．5．如图3-2-2,将△AOB绕点O逆时针旋转90°,得到△A′OB′,若点A的坐标为（a,b）,则点A′的坐标为_______.点A∠BAD（或∠CAE）3（－b,a）名师导学新知1旋转的相关概念在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．（1）旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转成为立体图形，这将在高中进一步学习．（2）旋转中心：指图形在旋转过程当中始终保持固定不动的那个定点称为旋转中心．旋转中心可以是平面上任一点.（3）旋转角：在平面内，图形绕一个定点沿某个方向转动的角被称为旋转角．因为经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，所以，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角．特别地，旋转角为180°的旋转变换是中心对称变换．（4）旋转不改变图形的大小和形状，旋转变换前后的图形是全等的，且对应点到旋转中心的距离相等．【例1】将图3-2-3按顺时针方向旋转90°后得到的是（）解析本题考查了图形的旋转变化.根据旋转的意义，图形按顺时针方向旋转90°，即正立状态转为顺时针的横向状态，从而可确定为A图．答案A举一反三1.将图3-2-4中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（）D2.如图3-2-5，在平面直角坐标系中，点B,C,E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为（0,1），AC=2，则这种变换可以是（）A.△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位B.△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位C.△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位D.△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位A3.如图3-2-6，正方形ABCD中，E是CD上一点，△ADE经过旋转后到达△ABF的位置.（1）旋转中心是点________；（2）旋转角度是__________；（3）旋转后的线段与原线段的位置关系是_______.A90°垂直新知2旋转变换前后图形的性质（1）对应点位置的排列顺序相同，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等．（2）对应线段相等，对应角相等．【例2】如图3-2-7所示，△ABC绕B点逆时针方向旋转26°得到△A′BC′，若A′C′正好经过A点，则∠BAC=（）A．52°B．64°C．77°D．82°解析根据旋转的性质，易得∠ABA′=∠CBC′=∠CAC′=26°且AB=A′B，进而可得∠A′AB==77°，所以∠BAC=180°-26°-77°=77°．故选C．答案C举一反三1.如图3-2-8，在△ABC中，∠CAB=65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A.35°B.40°C.50°D.65°C2.如图3-2-9所示，在正方形网格中，图①经过_______（填“平移”或“旋转”）变换可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点_______（填“A”或“B”或“C”）.3.如图3-2-10，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D.若∠A′DC=90°，则∠A=_________.平移A55°新知3简单的旋转作图步骤（1）确定旋转角的大小和方向．根据图形和已知条件，找出旋转前后图形的一对对应点，并将它们与旋转中心连接，以此代表旋转角的大小和方向.（2）确定每对对应点与旋转中心构成的旋转角：①准确找出能代表旋转前图形的特殊点（一般指图中所有线段的两个端点），并把它们与旋转中心依次连接；②以旋转中心作为角的顶点，以①的连线作为旋转角的一边，利用尺规作图，作出图中所有的旋转角（旋转的方向要一致）.（3）确定旋转后的图形的其他对应点：根据旋转变换前后图形的对应点到旋转中心的距离相等，在上述旋转角的另一边上分别截取对应相等的线段，以此确定旋转后图形的对应点.（4）顺次连接上述各个对应点，得到相应的线段,则得到的图形就是所求作的旋转后的图形．【例3】如图3-2-11所示，在△ABC中，∠A=90°，用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1.（保留作图痕迹）解析作出∠CAB的平分线AB1，在平分线AB1上截取AB1=AB，再过点A作出AB1的垂线AC1，在垂线