2.1.2椭圆的简单几何性质2

12.1.2椭圆的简单几何性质（2）高二数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程212516..1251611625..11625..1169.2222222222yxDyxyxCyxByxA或复习练习：1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（）2、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y轴都对称的是（）A、x2=4yB、x2+2xy+y=0C、x2-4y2=xD、9x2+y2=4CD3练习1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为。2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为。3、若椭圆的的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为。22213144、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e=__________5322221111yxabPPPOPPFPFPF---------------------------------点是椭圆上的动点，当的坐标为时，到原点的最大距离为；当的坐标为时，到原点O的最小距离为；设（c,0),则当P的坐标为时，的最大值为；则当P的坐标为时，的最小值为。(±a,0)a(0,±b)b(-a,0)a+c(a,0)a-c6、5、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率。315例5如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.所在椭圆的方程。求截口已知BACcmFFcmBFFFBC,5.4,8.2,21121解：建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为.12222byax22221212215.48.2FFBFBFFBFRt中，在所以由椭圆的性质知，,221aBFBF1.4)5.48.28.2(21)(212221BFBFayF2F1xoBC4.325.21.42222cab222214.13.4xy所求的椭圆方程为A8的轨迹。，求点的距离的比是常数的距离和它到直线与定点点例MxlFyxM54425:)0,4(),(6,54425:dMFMPMxlMd的轨迹就是集合点的距离，根据题意，到直线是点解：设.54425)4(2xyx由此得,22525922yx简，得将上式两边平方，并化192522yx即所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。FlxoyMHdca2ac)0,(cca2accca2ac22222222caayaxca)0(12222babyax425435169252222cacbacba9的距离和它到定直线，与定点若点)0(),(cFyxM思考上面探究问题，并回答下列问题：的距离和它到定直线，与定点）若点（)0(),(3cFyxM的，此时点的距离的比是常数Mcaaccaxl)0(:2？轨迹还是同一个椭圆吗时，对应，定直线改为，）当定点改为（caylcF2:)0(4？的轨迹方程又是怎样呢探究：的轨迹。，求点的距离的比是常数Mcaaccaxl)0(:2（1）用坐标法如何求出其轨迹方程，并说出轨迹（2）给椭圆下一个新的定义10探究、点M（x,y)与定点F（c,0)的距离和它到定直线l:x=a2/c的距离的比是常数c/a（ac0),求点M的轨迹。yFF’lI’xoP={M|}acdMF由此得acxcaycx222将上式两边平方，并化简，得22222222caayaxca设a2-c2=b2,就可化成)0(12222babyax这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别为2a,2b的椭圆M解：设d是M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合11FF’lI’xoy由探究可知，当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。此为椭圆的第二定义.10eace对于椭圆，相应于焦点F（c,0)准线方程是,根据椭圆的对称性，相应于焦点F‘(-c.0)准线方程是,所以椭圆有两条准线。12222byaxcax2cax212椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。定义1图形定义2平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(eace的点的轨迹。)0,()0,(21cFcF、焦点：),0(),0(21cFcF、焦点：cax2准线：cay2准线：、两个定点1F的距离的和2F等于常数（大）的点于21FF的轨迹。平面内与13由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：22222(1)1(0)xyaabxabc椭圆的准线方程为222221(0)yxaabyabc椭圆的准线方程为222abcc(2)两准线间的距离为，焦点到相应准线的距离为(3)椭圆的第二定义隐含着条件“定点在定直线外”，否则其轨迹不存在。(4)椭圆离心率的几何意义：由椭圆的第二定义得，“椭圆上一点到焦点的距离与相应准线的距离之比”14练习,)0(102222xPbabyax的横坐标是上一点已知椭圆为离心率，则点，且分别是椭圆的左、右焦、eFF21。21,PFPF0exa0exa12222byax（ab0）左焦点为F1，右焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点，则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。其中|PF1|、|PF2|叫焦半径.12222bxay（ab0）下焦点为F1，上焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点，则|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0。其中|PF1|、|PF2|叫焦半径.说明：PF1F2XYO)(第二定义accaxPF2010201)(exacaxacPFacxcaPF022:同理0022)(exaxcaacPF15焦半径公式该公式的记忆方法为‘‘左加右减”，即在a与ex0之间，如果是左焦半径则用加号“+’’连接，如果是右焦半径用“－”号连接．①焦点在x轴上时：│PF1│=a+exo，│PF2│=a-exo；②焦点在y轴上时：│PF1│=a+eyo,│PF2│=a-eyo。该公式的记忆方法为‘‘下加上减”，即在a与ey0之间，如果是下焦半径则用加号“+’’连接，如果是上焦半径用“－”号连接．焦半径的最大值为：a+c焦半径的最小值为：a-c16例7.解：17课堂练习1、椭圆上一点到准线与到焦点（-2，0）的距离的比是（）171122yx211x11112)(A211)(B112)(C117)(DB2、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是()3A23B33C43DC183.若一个椭圆的离心率e=1/2,准线方程是x=4,对应的焦点F（2，0），则椭圆的方程是____________3x2-8x+4y2=04：已知椭圆P为椭圆在第一象限内的点，它与两焦点的连线互相垂直，求P点的坐标。221,4520xy5:35,25,5,.3abce解0000(,),0,0.Pxyxy设102012,,2.PFaexPFaexFFc12PFPF2221212PFPFFF22200()()4aexaexc222202aexc209x20:16y代入椭圆方程得(3,4)P(3,4)P19变式:1.已知点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的比为0.8,则动点M的轨迹是()A.圆B.椭圆C.直线D.无法确定B20例8：求椭圆上一点P,使得点P与椭圆两焦点连线互相垂直.14922yx:3,2,5abc解法112(5,0),(5,0)FF00(,)Pxy设12PFPF120PFPF2000(5)(5)0xxy22005xy2200194xy又000033554455xxyy解得：或3434,)5555P(,)或P(21引申:当点P与两焦点连线成钝角时,求P点的横坐标的取值范围.例8：求椭圆上一点P,使得点P与椭圆两焦点连线互相垂直.14922yx5:3,2,5,3abce解法2(,)Pxy设3434,)5555P(,)或P(||1533则：，PFaexx||2533PFaexx||||||cos||||222121212122PFPFFFFPFPFPF()225195299xx035x45y代入椭圆方程得22思考:椭圆xy22941的焦点为FF12、，点P为其上的动点，当FPF12为钝角时，则点P的横坐标的取值范围是____________.:(,),Pxy解设||1533则：，PFaexx||2533PFaexx||||||cos||||222121212122PFPFFFFPFPFPF()225195299xx12FPF为钝角121cos0，FPF225191052(9)9即xx353555x解之得23法二:(数形结合)以FF12为直径的圆交椭圆于PP12，12，PPPxxx2222125P,P194而的坐标可由xyxy12353555解得，PPxx353555x24小结1.椭圆的第二定义2.焦半径：①焦点在x轴上时：│PF1│=a+ex0，│PF2│=a-ex0；②焦点在y轴上时：│PF1│=a+ey0,│PF2│=a-ey0。