3.2.1-几个常用函数的导数

3.2.1几个常用函数的导数高二数学选修1-1第三章导数及其应用求函数的导数的方法是:(1)()();yfxxfx求函数的增量(2):()();yfxxfxxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx求极限，得导函数二、几种常见函数的导数2)函数y=f(x)=x的导数.3)函数y=f(x)=x2的导数.4)函数y=f(x)=1/x的导数.1)函数y=f(x)=c的导数.根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.2)函数y=f(x)=x的导数.3)函数y=f(x)=x2的导数.4)函数y=f(x)=1/x的导数.2)函数y=f(x)=x的导数.3)函数y=f(x)=x2的导数.0()CC公式：为常数:(),yfxC解函数y=f(x)=c的导数.()()0,yfxxfxCC0,yx0()lim0.xyfxCx'1x公式：:(),yfxx解函数y=f(x)=x的导数.()()(),yfxxfxxxxx1,yx0()'lim1.xyfxxx2'2xx公式：（）2:(),yfxx解函数y=f(x)=x2的导数.222()()()2,yfxxfxxxxxxx222,yxxxxxxx220002()()'limlimlim(2)2.xxxyxxxfxxxxxxx211'xx公式：（）1:(),yfxx解函数y=f(x)=1/x的导数.11()()()xyfxxfxxxxxxx1,()yxxxx200111()()'limlim.()xxyfxxxxxxx展21)()2)(),3)(),14)(),yfxCyfxxyfxxyfxx'1y21'yx'2yx表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1'0y表示y=C图象上每一点处的切线斜率都为0公式:.)()(1Qnnxxnn请注意公式中的条件是,但根据我们所掌握的知识,只能就的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.Qn*Nn小结3-2y=2y=y=y=4x，x，x，求下列函数的导数？函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。0()fx（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即000()()().yfxfxxx例1.求过点P(-1,1)的曲线y=x2的切线方程。展题型：求曲线的切线方程'2yx解：由题意可知：2(1,1)Pyx是曲线上的点。11'|2,xPy过点的切线的斜率k12(1),210Pyxxy过点的切线方程:即：。练习1：求双曲线y＝1x在点(2，12)处的切线方程．解：∵y′＝－1x2，∴y′|x＝2＝－14.∴切线方程为y－12＝－14(x－2)，即：x＋4y－4=0练习2.求过点Q(2,f(2))的曲线y=x2的切线方程。44(2),440yxxy过Q点的切线方程:即：。2'|4,xy过Q点的切线的斜率k2(2,4)Qyx是曲线上的点。'2yx解：由题意可知：;2)=.yxy例2.已知，1)求求曲线在x1处的切线方程12()'()'yxx解1)：'11x=y21:1(1).2xyx2)当1时，=1,k=y切线方程11212x1.2x1212x22x11即：y=四、小结2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题.1.会求常用函数的导数.其中:21,,,,ycyxyxyx公式1:.0()CC为常数可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则例3求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．解：设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝f′(x0)＝3x20－2故切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)①∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0②又∵(1，－1)在切线上，解得x0＝1或x0＝－12.∴将②代入③式得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)．故所求的切线方程为：y＋1＝x－1或y＋1＝－54(x－1)．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.∴－1－y0＝(3x20－2)(1－x0)③则切线斜率为k＝1或k＝-54化简得2x30－3x20+1＝0．分解因式得(x0-1)2(2x0+1)＝0．练习：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．解：因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，又曲线过点(2，－1)，曲线过点(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.由a＋b＋c＝1，4a＋b＝1，4a＋2b＋c＝－1，所以4a＋2b＋c＝－1.所以a、b、c的值分别为3、－11、9.解得a＝3，b＝－11，c＝9.