第3章-曲线拟合的最小二乘法----计算方法

计算方法课件§3.1拟合曲线通过观察或测量，得到一组离散数据1结束插值：找通过这些点的多项式。但对高次多项式，可能产生较大的误差，如Runge现象，使得高次多项式并不能接近原函数。拟合：不要求近似函数过所有的数据点,而是要求它反映原函数整体的变化趋势,从而得到比原函数更简单更适用的近似函数,这样的方法称为数据拟合第3章曲线拟合的最小二乘法niyxii,...,2,1),,(计算方法课件结束数据拟合最常用的近似标准是最小二乘法：设f(x)为原函数,(x)为近似函数,(xi,f(xi))(i=1,…,n)为数据点,要求选择(x)使当(x)选择为多项式时,称为多项式拟合.最小二乘拟合,特别是多项式拟合,是最流行的数据处理方法之一.它常用于把实验数据(离散的数据)归纳总结为经验公式(连续的函数),以利于进一步的推演分析或应用.21)()(niiixxf2插值与拟合是构造近似函数的两种不同方法为最小.计算方法课件§3.2线性拟合和二次拟合函数1.线性拟合已知数据点为niyxii,...,2,1),,(由求极值的方法得矩阵方程——拟合曲线的法方程组用直线作为近似曲线,均方误差为bxaxp)(niiiybxabaQ12)(),(iniiniininiiniiyxybaxxxni1112113计算方法课件4由此可出求系数baˆ,ˆ拟合直线为xbaxpˆˆ)(2.二次拟合函数已知数据点为niyxii,...,2,1),,(用二次函数2210)(xaxaaxpniiiiyxaxaaaaaQ122210210)(),,(作为近似拟合曲线,均方误差为最小。计算方法课件由求极值的方法得法方程：iniiiniiniiniiniiniiniiniiniiniiniiyxyxyaaaxxxxxxxxn121121014131213121121由此可出求系数210ˆ,ˆ,ˆaaa拟合曲线为2210ˆˆˆ)(xaxaaxp5计算方法课件6例1设5组数据如下表,用一多项式对其进行拟合。x356810y52124解首先作平面散点图如下：xy12345123456789100计算方法课件7从图中观察,这5个点大致在一条抛物线的附近,可考虑用二次多项式进行拟合。22102)(xaxaaxpixiyixiyixi2xi2yixi3xi401234356810521241510616409253664100455036128400271252165121000816251296409610000Σ3214872346591880160986599714160981880234188023432234325210aaa计算方法课件8用高斯-若当无回代消去法解此方程组,得a0=13.454,a1=-3.657,a2=0.272。最小二乘拟合多项式为：22272.0657.3454.13)(xxxpy3非线性曲线转化为线性拟合:bxAYaAyYbxayaybxln,lnlnlne令bXayxXbxay22:令又如计算方法课件bXaYxXyYxbaybaxxy1,11:令又如例3:已知数据为x12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6求一个形如y=aebx的经验公式(a,b为常数).解:两边取对数得：bxaylnlnbxAYaAyYln,ln9计算方法课件10ixiyiYixi2xiYi0115.32.727912.72791220.53.020446.04082327.43.310599.93153436.63.60001614.40004549.13.89392519.46955665.64.18363625.10166787.84.47514931.325778117.64.76736438.1384∑3629.9787204147.13541354.1479787.2920436368bA计算方法课件解该方程组的A=2.4368,b=0.2912由A=lna,即得a=eA=11.4369所以,经验公式为：y=11.4369e0.2912x可化为线性拟合的非线性曲线有：bXaYbXaYbXaYcaXYbXaYxXyYxXyYxXyYxXyYxXyYbaxxyxbayaeycaxyaxykbxkblnlg1,1lg,,ln,lg,lglg线性函数变换关系拟合曲线11计算方法课件§3.3解矛盾方程组1.矛盾方程组已知数据点为niyxii,...,2,1),,(作拟合直线xaaxp10)(若直线通过点(xi,yi),则xaaxp10)(iiiyxaaxp10)(否则iiiyxaaxp10)(此时统称iixaay10为矛盾方程12计算方法课件矛盾方程组：（由点和拟合曲线构成的方程组）nnyxaayxaayxaa1022101110其矩阵形式为：nnyyyaaxxx21102111113bAX计算方法课件14iniiniinnniiniiniinnyxyyyyxxxxxxnxxxxxx11212112112121111111111bAAXATT为法方程。计算方法课件15即法方程。iniiniiniiniiniiyxyaaxxxn11101211定理（1）AX=b的法方程恒有解；（2）x*为Ax=b的最小二乘解的充要条件为ATAx*=ATb.证明(略)bAAXATT计算方法课件16一般形式为：imimiiyxaxaaxp10)(矛盾方程组的矩阵形式为：nmmnnmmyyyaaaxxxxxx21102211111简化为bAx计算方法课件结束其法方程为：17iniiiimmimimimiiimiiyxyxyaaaxxxxxxxxn102112由此求出拟合多项式的系数。例：给出一组数据，用最小二乘法求如下形式经验公式3)(bxaxf7.223.87.43.83.1442123iiyx计算方法课件结束18解：3)(iibxaxfiiybxa3nnyyybaxxx2133231111495436365AAT10623.58yATyAAXATT解得：137.0,675.10ba3137.0675.10)(xxf拟合曲线为：