a金融风险的度量——久期凸性及久期缺口模型精讲

金融风险的度量——久期、凸性及久期缺口模型赵建群金融风险管理赵建群1、直观理解四项投资的现金流（入）如下一、久期的概念与推导t123456ABCD100100100100200100100100100100100100100100100200200503015070赵建群金融风险管理赵建群问题：如何比较四项投资的风险？赵建群金融风险管理赵建群t123456ABCD1001001001002001001001001001001001004010018012020050301507090总量相同分量不同赵建群金融风险管理赵建群t123456ABCD1001001001002001001001001001001001004010018012020050301507090时间跨度相同各期流量不同赵建群金融风险管理赵建群t123456ABCD1001001001002001001001001001001001004010018012020050301507090时间跨度不同各期流量不同赵建群金融风险管理赵建群思路：设置一个指标，综合衡量时间跨度和流量大小？同时体现出对风险因子的敏感性程度？——久期赵建群金融风险管理赵建群假定某息票债券的基本信息如下：面值息票率到期日第期末的现金流贴现率（即市场基准利率）FiTttCy2、久期的推导Ⅰ：利息支付采取一年一次方式赵建群金融风险管理赵建群于是有iFCt)1(iFCTTtttyCP1)1(赵建群金融风险管理赵建群TTyCyCyCyCyCP)1()1()1()1(14433221或者公允价值核算的直观表达：赵建群金融风险管理赵建群问题：市场利率的变化对债券价格有怎样的影响？P赵建群金融风险管理赵建群在贴现率发生较小变化的情况下，根据Taylor展开式，可得dyyPdP)('赵建群金融风险管理赵建群TTyCyCyCyCyCP)1()1()1()1(14433221TtttTTytCyCTyCyCyCyCyP11154433221')1(()1()1(4)1(3)1(2)1()(赵建群金融风险管理赵建群yPdyDydyPyCytCydyPPytCydyytCdyytCdyyPdPTtttTtttTtttTtttTttt1)1()1()1()1()1()1()1()1()(111111'TtttyCP1)1(赵建群金融风险管理赵建群其中称为久期TtttTtttyCytCD11)1()1(赵建群金融风险管理赵建群考察是一个以为权对时间t的加权和TtttTtttyCytCD11)1()1(TtttttyCyC1)1()1(赵建群金融风险管理赵建群或者，可以认为久期是项目或资产的平均回收期（基于现金流现值的加权）赵建群金融风险管理赵建群考察表示当期现金流的折现值/总现金流折现值TtttttyCyC1)1()1(赵建群金融风险管理赵建群3、久期的经济学解释将变形得或者取其离散形式（之所以采用≈，是因为的推导采取的是Taylor一阶近似，当利率的变化比较大时，取一阶近似是不对的）yPdyDdP1ydyPdPD1yyPPD1dP赵建群金融风险管理赵建群考察或者发现：久期反映了债券价格对市场利率或贴现率变化的敏感程度ydyPdPD1yyPPD1赵建群金融风险管理赵建群例1：假定某债券的久期为5年，当市场利率为8%时，该债券的市场价格为120元，如果市场利率升为9%，该债券的市场价格将发生怎样的变化？赵建群金融风险管理赵建群考察久期公式当市场利率变化由8%升为9%时，贴现因子（1+y）的变化比率为(9%-8%)/(1+8%)=0.92593%所以该债券的市场价格将下降0.92593%×5=4.62963%即下降为120×(1-0.462963%)=114.44444元yyPPD1赵建群金融风险管理赵建群4、修正久期定义修正久期：——反映收益率曲线平移一单位引起债券价格变化的百分比dydPPD1*y赵建群金融风险管理赵建群比较显然ydyPdPD1dyDPdP*)1(*yDDdydPPD1*赵建群金融风险管理赵建群例2假定某债券的修正久期为5年，当市场利率为8%时，该债券的市场价格为120元，如果市场利率升为9%，该债券的市场价格将发生怎样的变化？赵建群金融风险管理赵建群考察有：市场利率绝对上升量为1%，因此债券的市场价格将降低1%×5=5%因此债券的市场价格将降为120×(1-5%)=144元dyDPdP*赵建群金融风险管理赵建群5、久期的推导Ⅱ：付息方式为半年一次赵建群金融风险管理赵建群TtttTTTTyCyCyCyCyCyCyCP2122125.04235.1215.0)21()21()21()21()21()21(21赵建群金融风险管理赵建群TtttTTTTyCtyCTyCTyCyCyCyCyP21121225.05245.13125.0')21(221)21(212)21(21)12()21(214)21(213)21(212)21(211)(赵建群金融风险管理赵建群21)21()21()21()21()21()21()21()21()(2122122122122112'yPdyDydyPyCytCydyPPytCydyytCdyytCdyyPdPTtttTtttTtttTtttTtttTtttyCP212)21(TtttytCyP2112')21()(赵建群金融风险管理赵建群TtttTtttyCytCD5.025.02)21()21(赵建群金融风险管理赵建群dydPPD1*dyDPdP*21ydyPdPD)21(*yDD赵建群金融风险管理赵建群6、久期的推导Ⅲ：利息一年支付a次TatattTatattayCayCataD1)1()1(1赵建群金融风险管理赵建群二、久期的性质①息票债券的久期一般小于债券的到期期限TtttTtttyCytCD11)1()1(TaaaTaaaTT212121?赵建群金融风险管理赵建群②零息债券的久期是其到期期限TTTTTtttTtttyCyCTyCytCD)1()1()1()1(11赵建群金融风险管理赵建群③息票债券久期的上限是相应的永久债券的久期令则有TttTttTtttTtttyFiytFiyCytCD1111)1()1()1()1(111ay赵建群金融风险管理赵建群yyaaaaaaTTaaaaaaTaaTaaaaTaaaayyyyTyyDTTTTTTTTTTTTTT111)1()1(lim)1()1()1(lim32lim)1(1)1(1)1(1)1()1(2)1(1limlim121122123222赵建群金融风险管理赵建群④分析：如果债券价值被认为是可以变化的；假定各期的息票利率同等变动，则显然，该变化对久期无影响（相当于各期的权未变0iD?TtTtttTtttTtttyFiytFiyCytCD1111)1()1()1()1(暗含假定：T、y与i均无关赵建群金融风险管理赵建群如果债券价值是不变的，在此前提下假定息票利率的变化，则意味着总的时长发生变化，于是有以下分析虽然此时Fi已经被消掉，但是，T却成为i的函数赵建群金融风险管理赵建群令iFCtTtttyCP1)1(ya11PaaaFiT11FiPaaaT)1(1赵建群金融风险管理赵建群TtttTtttyCytCD11)1()1(iFCtTtttyCP1)1(ya11FiPaaaT)1(1PaPaTaFiTaPTaTaFiPaPaTaTaaaFiPTaaaaFiDTTTT22221132)1()1()1()1()1(32赵建群金融风险管理赵建群将以表示然后对求导——情况比较复杂，应该根据和之间的关系进行讨论故课本上的结论有误（见P64结论2）（进一步的讨论留做课后思考题）TiiPF赵建群金融风险管理赵建群⑤分析：直观分析0yD?TTyyyyTyyD)1(1)1(1)1(1)1()1(2)1(122yy11Tyyyy)1(1)1(1)1(11132赵建群金融风险管理赵建群进一步的讨论：令时间连续，且则令与无关ya11TtxTtxdxadxxaD00xxu)(aaxvxln)(0tTDy赵建群金融风险管理赵建群Excel演示略综合上述久期只是一个经验性、粗略性标识指标赵建群金融风险管理赵建群练习请对、做出分析TD22TD赵建群金融风险管理赵建群三、久期应用的缺陷如果不同期限的贴现率不同，则久期的衡量精度下降如果贴现率（或者说市场基准利率）变化幅度比较大，则久期的衡量精度下降（为了克服上面的第二种缺陷，引入凸性）赵建群金融风险管理赵建群四、久期缺口模型1、利率敏感性（资产、负债）价值变化与久期令利率敏感性资产价值为，则有其中为资产的久期APyyDPPAAA1AD赵建群金融风险管理赵建群令利率敏感性负债价值为，则有其中为负债的久期LPyyDPPLLL1LD赵建群金融风险管理赵建群2、（利率敏感性）净资产增加量为其中为久期缺口为（利率敏感性）资产负债率yyPDGyyPDPPDPPPPAALALALALA11)()(LALADPPDDGALPP赵建群金融风险管理赵建群3、基本结论由可知：⑴当，即资产平均回收期相对较长时，利率上升将导致净资产价值下降⑵当，即负债平均回收期相对较长时，利率上升将导致净资产价值上升⑶在利率变化方向不确定的情况下，预防利率风险的比较好的办法，就是力求使yyPDGPPALA1)(0DG0DG0DG赵建群金融风险管理赵建群4、进一步探讨从久期缺口角度，为了防止利率风险，可行操作包括：调整利率敏感性资产负债比调整利率敏感性资产的久期调整利率敏感性负债的久期力争使0DG赵建群金融风险管理赵建群五、凸性1、概念债券价格变化关于利率变动的更为精确的表达形式)0()()(21)(2'''dyyPdyyPdP2''')()(21)(dyyPdyyPdPdyPdydyPdPdydPPdP)211(22赵建群金融风险管理赵建群对将即代入上式有dyPdydyPdPdydPPdP)211(22ydyPdPD1yDdydPP11dyPdydypdPyDdP)211(22赵建群金融风险管理赵建群令则有221dyPdPCdyPdyCyDdP)211(2)(211dyCydyDPdPTtttyCtty