椭圆的标准方程和几何性质练习题

1椭圆的标准方程和几何性质练习题一1.若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足()A．a2b2B.1a1bC．0abD．0ba答案：C由ax2＋by2＝1，得x21a＋y21b＝1，因为焦点在x轴上，所以1a1b0，所以0ab.2.一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2,3)是椭圆上一点,且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()A.2x8+2y6=1B.2x16+2y6=1C.2x8+2y4=1D.2x16+2y4=1答案：A设椭圆的标准方程为2222xyab=1(ab0)。由点P(2,3)在椭圆上知2243ab=1。又|PF1|，|F1F2|，PF2|成等差数列，则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，即2a=2×2c，c1,a2又c2=a2-b2，联立得a2=8，b2=63.已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．23B．6C．43D．12答案：C如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4a＝43。4.已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈12，1，则实数m的取值范围是()A.0，34B.43，＋∞C.0，34∪43，＋∞D.34，1∪1，43答案：C在椭圆x2＋my2＝1中，当0＜m＜1时，a2＝1m，b2＝1，c2＝a2－b2＝1m－1，∴e2＝c2a2＝1m－11m＝1－m，又12＜e＜1，∴14＜1－m＜1，解得0＜m＜34，当m＞1时，a2＝1，b2＝1m，c2＝1－1m，e2＝c2a2＝1－1m1＝1－1m，又12＜e＜1，∴14＜1－1m＜1，解得m＞43，综上可知实数m的取值范围是0，34∪43，＋∞。25.已知两圆C1:(x-4)2+y2=169，C2:(x+4)2+y2=9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1486422yxB.1644822yxC.1644822yxD.1486422yx答案：D设圆M的半径为r，则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16，所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆，且2a=16，2c=8，故所求的轨迹方程为2x64+2y48=16.椭圆12222byax(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一点，caxl2:，且PQ⊥l，垂足为Q，若四边形PQF1F2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是()A.(12,1)B.(0,12)C.(0,22)D.(22,1)答案：A设点P(x1,y1)，由于PQ⊥l,故|PQ|=x1+2ac，因为四边形PQF1F2为平行四边形，所以|PQ|=|F1F2|=2c，即x1+2ac=2c，则有x1=2c-2ac-a，所以2c2+ac-a20，即2e2+e-10，解得e-1或e12，由于0e1，所以12e1，即椭圆离心率的取值范围是(12,1)7.已知P为椭圆x225＋y216＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5B．7C．13D．15答案：B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7。8.设F1、F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(OP→＋OF2→)·PF2→＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是()A．4B．3C．2D．1答案：D∵(OP→＋OF2→)·PF2→＝(OP→＋F1O→)·PF2→＝F1P→·PF2→＝0，∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，∴S△F1PF2＝12mn＝19.已知椭圆C：12222byax(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰有8个不同的点P，使得△F1F2P为直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是()3A.(0,22)B.(0,22]C.(22,1)D.[22,1)答案：C由题意，问题等价于椭圆上存在四个点P使得直线PF1与直线PF2垂直，所以|OP|=cb，即c2a2-c2，所以a2c，因为e=ca，0e1，所以22e1.10.若点O和点F分别为椭圆13422yx的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则FPOP的最大值为()A.2B.3C.6D.8答案：C设椭圆上任意一点P(x0,y0)，则有2200xy43=1，即=3-34，O(0,0)，F(-1,0)，则·=x0(x0+1)+=14+x0+3=14(x0+2)2+2.因为|x0|≤2，所以当x0=2时，·取得最大值为611.在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－718.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率为()A.34B.37C.38D.318答案：C依题意知AB＝BC＝2c，AC＝2a－2c，在△ABC中，由余弦定理得(2a－2c)2＝8c2－2×4c2×－718，故16e2＋18e－9＝0，解得e＝38.12.已知F1，F2分别是椭圆13422yx的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M(t,0)为一个切点，则（）A.t=2B.t2C.t2D.t与2的大小关系不确定答案：A如图，P，Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点，则|MF2|=|F2Q|=2a-(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F1M|，即|F1M|+|MF2|=2a.所以t=a=2.13.椭圆12222byax(ab0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈π12，π4，则该椭圆离心率的取值范围为()A.22，63B.22，32C.63，1D.22，1答案：A由题知AF⊥BF，根据椭圆的对称性，AF′⊥BF′(其中F′是椭圆的左焦点)，因此四边形4AFBF′是矩形，于是|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＝2csinα，根据椭圆的定义，|AF|＋|AF′|＝2a，∴2csinα＋2ccosα＝2a，∴e＝ca＝1sinα＋cosα＝12sinα＋π4，而α∈π12，π4，∴α＋π4∈π3，π2，∴sinα＋π4∈32，1，故e∈22，6314.直线xy3与椭圆C：12222byax(ab0)交于A，B两点,以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为()A.32B.312C.3-1D.4-23答案：C设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由题意可得|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c，由y=-3x得∠AOF2=23，∠AOF1=3。所以|AF2|=3c，|AF1|=c.由椭圆定义知,|AF1|+|AF2|=2a，所以c+3c=2a，所以e=ca=3-1.15.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为A(0，－1)，其右焦点到直线x－y＋22＝0的距离为3，则椭圆的方程为答案：1322yx据题意可知椭圆方程是标准方程，故b＝1.设右焦点为(c,0)(c0)，它到已知直线的距离为|c＋22|2＝3，解得c＝2，所以a2＝b2＋c2＝3，故椭圆的方程为x23＋y2＝1.16.设F1，F2分别是椭圆22xy2516=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点的距离为答案：4由题意知|OM|=12|PF2|=3，所以|PF2|=6，所以|PF1|=2a-|PF2|=10-6=417.分别过椭圆12222byax(ab0)的左、右焦点F1，F2所作的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是答案：(0,22)由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上。又点P在椭圆内部，所以有c2b2，又b2=a2-c2，所以有c2a2-c2，即2c2a2，亦即:22c1,a2所以c20.a218.椭圆1422yx的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点5P的横坐标的取值范围是答案：－263，263设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则F1P→＝(x＋3，y)，F2P→＝(x－3，y)。∵∠F1PF2为钝角，∴F1P→·F2P→＜0，即x2－3＋y2＜0，①∵y2＝1－x24，代入①得x2－3＋1－x24＜0，34x2＜2，∴x2＜83。解得－263＜x＜263，∴x∈－263，263。19.椭圆x2a2＋y25＝1(a为定值，且a＞5)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B。若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是答案：23设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a。又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，当且仅当AB过右焦点F′时等号成立。此时4a＝12，则a＝3。故椭圆方程为x29＋y25＝1，所以c＝2，所以e＝ca＝23。20.如图，焦点在x轴上的椭圆14222byx的离心率e＝12，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点．则PF→·PA→的最大值为答案：4设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，∵e＝ca＝12，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为x24＋y23＝1.∴－2≤x0≤2，－3≤y0≤3.∵F(－1,0)，A(2,0)，PF→＝(－1－x0，－y0)，PA→＝(2－x0，－y0)，∴PF→·PA→＝x20－x0－2＋y20＝14x20－x0＋1＝14(x0－2)2.即当x0＝－2时，PF→·PA→取得最大值4.621.已知椭圆C：12222byax(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF。若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=45，则C的离心率为答案：57如图，设|AF|=x，则cos∠ABF=222810x4.28105解得x=6(负值舍去)，所以∠AFB=90°,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8，且∠FAF1=∠FAB+∠FBA=90°，△FAF1是直角三角形，所以|F1F|=10，故2a=8+6=14，2c=10，所以c5.a722.如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆12222byax(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为41(,)33，且|BF2|=2，求椭圆的方程（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值【解析】(1)由题意F2(c,0)，B(0,b)，|BF2|=22bca2,又C41(,)33，所以22241()()332b=1，解得b=1，所以椭圆方程为2x2+y2=1.(2)直线BF2方程为xycb=1，与椭圆方程2222xyab=1联立方程组，解得A点坐标为2322222acb(,),acac则C点的坐标为2322222acb(,),acac又F1(-c,0)，=332222322bbac,2ac3acccac又kAB=-bc，由F1C⊥AB，得323b3acc·(-bc)=-1,即b4=3a2c2+c4，所以(