椭圆的标准方程练习题

1（1）第一定义——把椭圆从圆中分离椭圆从圆（压缩）变形而来，从而使得椭圆与圆相关而又相异.它从圆中带来了中心和定长，但又产生了2个新的定点——焦点.准确、完整地掌握椭圆的定义，是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础.【例1】若点M到两定点F1（0，-1），F2（0，1）的距离之和为2，则点M的轨迹是（）A.椭圆B.直线21FFC.线段21FFD.线段21FF的中垂线.【解析】注意到122,FF且122,MFMF故点M只能在线段21FF上运动，即点M的轨迹就是线段21FF，选C.【评注】椭圆的定义中有一个隐含条件，那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离.忽视这一点，就会错误地选A.（2）勾股数组——椭圆方程的几何特征椭圆的长、短半轴a、b和半焦距c，满足.在a、b、c三个参数中，只要已知或求出其中的任意两个，便可以求出第3个，继而写出椭圆方程和它的一切特征数值.椭圆方程的标准式有明显的几何特征，这个几何特征就反映在这个勾股数组上.所谓解椭圆说到底是解这个勾股数组.【例2】已知圆1003:22yxA，圆A内一定点B（3，0），圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.【解析】如图，设两圆内切于C，动点P（x，y），则A、P、C共线.连AC、PB，∵10PAPBAC为定长，而A（-3，0），B（3，0）为定点，∴圆心P的轨迹是椭圆.且5,3,4acb.所求轨迹方程为：2212516xy.一、的最值若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。例2.已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）图1由椭圆的第一定义得：可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。XYA(-3,0)B(3,0)P(x,y)C2故的最大值为，最小值为。二、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例4.定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”⊥于B”，MM”⊥于M”图3则当且仅当AB过焦点F时等号成立。故M到椭圆右准线的最短距离为。评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。一、填空题1．方程x225－m＋y216＋m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________．2．椭圆x2－m＋y2－n＝1(mn0)的焦点坐标是________．3．已知椭圆的标准方程是x2a2＋y225＝1(a5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________．4．过点(－3,2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是________．5．已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，则椭圆的标准方程是________．6．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，则椭圆的标准方程是________．7．若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为________．8．已知椭圆x216＋y29＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，Q是PF1的中点，若OQ＝1，则PF1＝________.9．设F1、F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．1点P（x，y）在椭圆4)2(422yx上，则xy的最大值为（）A.1B.-1C.332D.33231、如果方程222xky表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A(0,)B(0,2)C(1,)D(0,1)2、方程2212516xykk表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）A1625kB9162kC9252kD92k3、椭圆22125xy上一点p到一个焦点的距离为2，则点p到另一个焦点的距离为（）A5B6C7D84、过椭圆2241xy的一个焦点1F的直线与椭圆交于A,B两点，则A,B与椭圆的另一个焦点2F构成的2ABF的周长是（）A2B4C8D225平面内两定点的距离为8.则到这两个定点的距离之和为6的点的轨迹为（）A圆B椭圆C线段D不存在6、椭圆22125xymm的焦点坐标是（）A(7,0)B(0,7)C(7,0)D(0,7)二、解答题10．已知椭圆x2＋2y2＝a2(a0)的左焦点F1到直线y＝x－2的距离为22，求椭圆的标准方程．11．已知圆C：(x－3)2＋y2＝100及点A(－3,0)，P是圆C上任意一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于点Q，求点Q的轨迹方程．12．已知F1、F2是椭圆x2100＋y264＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．(1)若∠F1PF2＝π3，求△F1PF2的面积；(2)求PF1·PF2的最大值．