2018理科数学(全国卷Ⅰ)试题+解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设1i2i1iz，则||zA．B．12C．D．22．已知集合220Axxx，则ARðA．12xxB．12xxC．|1|2xxxxD．|1|2xxxx3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．设nS为等差数列na的前项和，若3243SSS，12a，则5aA．12B．10C．10D．125．设函数32()(1)fxxaxax，若()fx为奇函数，则曲线()yfx在点(0,0)处的切线方程为A．2yxB．yxC．2yxD．yx6．在ABC△中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EBA．3144ABACB．1344ABACC．3144ABACD．1344ABAC7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A．172B．52C．3D．28．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FMFN=A．5B．6C．7D．89．已知函数e0()ln0xxfxxx，，，，()()gxfxxa．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．–1，0）B．0，+∞）C．–1，+∞）D．1，+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p311．已知双曲线C：2213xy，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若△OMN为直角三角形，则|MN|=A．32B．3C．23D．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A．334B．233C．324D．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，满足约束条件220100xyxyy，则32zxy的最大值为_____________．14．记nS为数列na的前项和，若21nnSa，则6S_____________．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）16．已知函数2sinsin2fxxx，则fx的最小值是_____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17．（12分）在平面四边形ABCD中，90ADC，45A，2AB，5BD.（1）求cosADB；（2）若22DC，求BC.18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，,EF分别为,ADBC的中点，以DF为折痕把DFC△折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.（1）证明：平面PEF平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.19．（12分）设椭圆22:12xCy的右焦点为F，过F的直线与C交于,AB两点，点M的坐标为(2,0).（1）当与轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB.20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为)10(pp，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(pf,求)(pf的最大值点0p．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21．（12分）已知函数1()lnfxxaxx．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx存在两个极值点12,xx，证明：12122fxfxaxx．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2ykx.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30.（1）求2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程.23．选修4–5：不等式选讲]（10分）已知()|1||1|fxxax.（1）当1a时，求不等式()1fx的解集；（2）若(0,1)x时不等式()fxx成立，求的取值范围.参考答案：123456789101112CBABDABDCABA13.614.6315.1616.33217.（12分）解：（1）在ABD△中，由正弦定理得sinsinBDABAADB.由题设知，52sin45sinADB，所以2sin5ADB.由题设知，90ADB，所以223cos1255ADB.（2）由题设及（1）知，2cossin5BDCADB.在BCD△中，由余弦定理得2222cosBCBDDCBDDCBDC22582522525.所以5BC.18.（12分）解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，||BF为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=3.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.可得33,22PHEH.则3333(0,0,0),(0,0,),(1,,0),(1,,),2222HPDDP3(0,0,)2HP为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为，则334sin||4||||3HPDPHPDP.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.19.（12分）解：（1）由已知得(1,0)F，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为2(1,)2或2(1,)2.所以AM的方程为222yx或222yx.（2）当l与x轴重合时，0OMAOMB.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为(1)(0)ykxk，1221(,),(,)AyxyxB，则122,2xx，直线MA，MB的斜率之和为212122MAMBxxyykk.由1122,ykkxykxk得121212(23()42)(2)MAMBxxxxkkxxkkk.将(1)ykx代入2212xy得2222(21)4220kxkxk.所以，21221222422,2121xxxkkkxk.则3131322244128423()4021kkkkkkkkkxxxx.从而0MAMBkk，故MA，MB的倾斜角互补，所以OMAOMB.综上，OMAOMB.20.（12分）解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C(1)fppp.因此2182172172020()C[2(1)18(1)]2C(1)(110)fpppppppp.令()0fp，得0.1p.当(0,0.1)p时，()0fp；当(0.1,1)p时，()0fp.所以()fp的最大值点为00.1p.（2）由（1）知，0.1p.（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB:，20225XY，即4025XY.所以(4025)4025490EXEYEY.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于400EX，故应该对余下的产品作检验.21.（12分）解:（1）()fx的定义域为(0,)，22211()1axaxfxxxx.（i）若2a，则()0fx，当且仅当2a，1x时()0fx，所以()fx在(0,)单调递减.（ii）若2a，令()0fx得，242aax或242aax.当2244(0,)(,)22aaaaxU时，()0fx；当2244(,)22aaaax时，()0fx.所以()fx在2244(0,),(,)22aaaa单调递减，在2244(,)22aaaa单调递增.（2）由（1）知，()fx存在两个极值点当且仅当2a.由于()fx的两个极值点12,xx满足210xax，所以121xx，不妨设12xx，则21x.由于12121221212121222()()lnlnlnln2ln11221fxfxxxxxxaaaxxxxxxxxxx，所以1212()()2fxfxaxx等价于22212ln0xxx.设函数1()2lngxxxx，由（1）知，()gx在(0,)单调递减，又(1)0g，从而当(1,)x时，()0gx.所以22212ln0xxx，即1212()()2fxfxaxx.22．选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）由cosx，siny得2C的直角坐标方程为22(1)4xy．（2）由（1）知2C是圆心为(1,0)A，半径为的圆．由题设知，1C是过点(0,2)B且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为，y轴左边的射线为．由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于与2C只有一个公共点且与2C有两个公共点，或与2C只有一个公共点且与2C有两个公共点．学#当与2C只有一个公共点时，A到所在直线的距离为，所以2|2|21kk，故43k或0k．经检验，当0k时，与2C没有公共点；当4