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§4.2复数的四则运算学习目标思维脉络1.理解并掌握复数代数形式的加、减运算;2.掌握复数代数形式的乘、除运算法则及运算律;3.理解互为共轭复数的概念.12341.复数的加法与减法运算法则(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.复数的加法满足交换律、结合律,即对任意的复数z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1(交换律),(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)(结合律).1234练一练1i-(1+2i)+(4-3i)=.答案:3-4i练一练2若z1=2+i,z2=3i,则|z1-z2|=.解析:∵z1-z2=(2+i)-3i=2-2i,∴|z1-z2|=22+(-2)2=22.答案:2212342.复数的乘法运算法则(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.(1)复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律,即对任意z1,z2,z3∈C,有z1·z2=z2·z1,(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(2)在复数范围内,实数范围内的正整数指数幂的运算律仍然成立,即对任意复数z,z1,z2和正整数m,n,有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=𝑧1𝑛𝑧2𝑛.1234练一练3(1+i)4等于()A.4B.-4C.4iD.-4i解析:(1+i)4=[(1+i)2]2=(2i)2=-4.答案:B练一练4(1-2i)(3+4i)(-2+i)等于()A.20+15iB.20-15iC.-20-15iD.-20+15i解析:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(3+4i-6i-8i2)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-22+11i+4i-2i2=-20+15i.答案:D12343.共轭复数当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这样的两个复数叫作互为共轭复数.复数z的共轭复数用𝑧表示,即若z=a+bi,则𝑧=a-bi.名师点拨1.可以用复数z与它的共轭复数𝑧来判断复数z是否为实数和纯虚数.即(1)z=𝑧⇔z∈R;(2)z+𝑧=0(z≠0)⇔z为纯虚数.2.设z=a+bi(a,b∈R),则𝑧=a-bi,z𝑧=|z|2=|𝑧|2=a2+b2,但|z|2≠z2.1234练一练5若x-1+yi与i-3x是共轭复数,则实数x=,实数y=.解析:由共轭复数的定义可知,𝑥-1=-3𝑥,𝑦=-1,解得x=14,y=-1.答案:14-112344.复数的除法运算给出两个复数a+bi,c+di(c+di≠0),我们把满足等式(c+di)·(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫作复数a+bi除以c+di所得的商,记作(a+bi)÷(c+di)或𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i,其中a,b,c,d,x,y都是实数.即(a+bi)÷(c+di)=𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i=(𝑎+𝑏i)(𝑐-𝑑i)(𝑐+𝑑i)(𝑐-𝑑i)=(𝑎𝑐+𝑏𝑑)+(𝑏𝑐-𝑎𝑑)i𝑐2+𝑑2=𝑎𝑐+𝑏𝑑𝑐2+𝑑2+𝑏𝑐-𝑎𝑑𝑐2+𝑑2i.练一练6(1-2i)÷(3+4i)=.答案:-15−25i探究一探究二探究三探究四探究一复数的加减运算(1)可把复数的运算类比实数运算,若有括号,先计算括号里面的;若没有括号,可以从左到右依次运算.(2)算式中若出现字母,首先确定字母是否为实数,再确定复数的实部和虚部,最后把实部、虚部分别相加减.探究一探究二探究三探究四典例提升1计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)];(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).思路分析:利用复数加减运算的法则计算.解:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i.(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.探究一探究二探究三探究四典例提升2已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),若z1-z2=13-2i,求z1,z2.思路分析:先求出z1-z2,再利用复数相等列出关于x,y的方程组,求出x,y,进而求出z1与z2.解:z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i.∵z1-z2=13-2i,∴(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i.∴5𝑥-3𝑦=13,𝑥+4𝑦=-2,解得𝑥=2,𝑦=-1.∴z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.探究一探究二探究三探究四变式训练1已知|z|=4且z+2i是实数,则复数z=.解析:因为z+2i是实数,所以可设z=a-2i(a∈R).由|z|=4,得a2+4=16,所以a=±23,故z=±23-2i.答案:±23-2i探究一探究二探究三探究四探究二复数的乘除运算(1)两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.(2)在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di,化简后可得结果.探究一探究二探究三探究四典例提升3计算下列各题:(1)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).(2)(1+i)71-i+(1-i)71+i−(3-4i)(2+2i)34+3i.(3)1i(2+2i)5+11+i4+1+i1-i7.思路分析:根据复数乘除的运算法则进行计算.探究一探究二探究三探究四解:(1)原式=2(4-i)(3-i)+(7-i)(4-3i)=2(12-3i-4i+i2)+(28-4i-21i+3i2)=2(11-7i)+25(1-i)=47-39i.(2)原式=[(1+i)2]31+i1-i+[(1-i)2]3·1-i1+i−8(3-4i)(1+i)2(1+i)(3-4i)i=(2i)3·i+(-2i)3·(-i)-8×2i(1+i)i=8+8-16-16i=-16i.(3)原式=-i·(2)5·[(1+i)2]2·(1+i)+1(1+i)22+i7=162(-1+i)-14-i=-162+14+(162-1)i.探究一探究二探究三探究四变式训练2复数(1+2i)23-4i的值是()A.-1B.1C.-iD.i解析:原式=1+4i+4i23-4i=-3+4i3-4i=-1.答案:A探究一探究二探究三探究四探究三共轭复数在同一式中,同时出现z,𝑧和|z|这三者当中的两者,往往将z设为a+bi(a,b∈R),运用复数相等求解问题.探究一探究二探究三探究四典例提升4已知z∈C,𝑧为z的共轭复数,若z·𝑧-3i𝑧=1+3i,求z.思路分析:设出z=a+bi(a,b∈R),代入等式,利用复数相等的条件求解.解:设z=a+bi(a,b∈R),则𝑧=a-bi(a,b∈R),由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i,则有𝑎2+𝑏2-3𝑏=1,-3𝑎=3,解得𝑎=-1,𝑏=0或𝑎=-1,𝑏=3.所以z=-1或z=-1+3i.探究一探究二探究三探究四变式训练3设z的共轭复数是𝑧,若z+𝑧=4,z·𝑧=8,则𝑧𝑧等于()A.iB.-iC.±1D.±i解析:设z=a+bi(a,b∈R).因为z+𝑧=4,所以a=2.又z·𝑧=8,所以4+b2=8,所以b2=4,所以b=±2,即z=2±2i,故𝑧𝑧=±i.答案:D探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点:运算法则运用不正确致错探究一探究二探究三探究四典例提升5式子1-i1+i5的化简结果是()A.1B.iC.-iD.无意义错解一:1-i1+i5=1-i1+i252=(1-i)2(1+i)252=-2i2i52=(-1)52,无意义.故选D.错解二:1-i1+i5=1-i1+i454=(1-i)4(1+i)454=(-2i)2(2i)254=i54=1.故选A.探究一探究二探究三探究四错因分析:上述两种错解根源相同,就是将实数中的指数运算法则推广到了复数之中.正解:1-i1+i5=(1-i)(1-i)(1+i)(1-i)5=(-i)5=-i5=-i.答案:C123451.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),z1+z2所对应的点在实轴上,则a为()A.3B.2C.1D.-1解析:∵z1=2+i,z2=3+ai,∴z1+z2=(2+i)+(3+ai)=5+(a+1)i.又z1+z2所对应的点在实轴上,∴a+1=0,即a=-1.答案:D123452.复数(1+i)23-i的值为()A.-1+3iB.12+32iC.-12+32iD.1-3i解析:(1+i)23-i=2i(3+i)(3-i)(3+i)=-2+23i4=-12+32i.答案:C123453.若𝑎-ii=b+2i(a,b∈R),则a2+b2=.解析:∵𝑎-ii=(𝑎-i)i-1=-1-ai=b+2i,∴a=-2,b=-1,∴a2+b2=(-2)2+(-1)2=5.答案:5123454.若复数z满足z=i(2-z)(i是虚数单位),则z=.解析:设z=a+bi(a,b∈R),则a+bi=i(2-a-bi)=b+(2-a)i,由复数相等的充要条件,得𝑎=𝑏,𝑏=2-𝑎.解得a=b=1,即z=1+i.答案:1+i制作不易尽请参考123455.已知复数z1=5+i,z2=i-3,且1𝑧=𝑧1+𝑧2,求复数z.解:由已知得,𝑧1=5-i,𝑧2=-3-i,∴1𝑧=𝑧1+𝑧2=(5-i)+(-3-i)=2-2i,∴z=12-2i=1211-i=14+14i.