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本章整合复数复数的概念复数的分类实数虚数纯虚数非纯虚数复数相等复数的几何意义复数的模共轭复数复数的四则运算复数的加法、减法法则复数的乘法运算法则复数的除法运算法则专题一专题二专题三专题一复数的有关概念1.复数的分类设z=a+bi(a,b∈R),则(1)z为实数⇔b=0;(2)z为虚数⇔b≠0;(3)z=0⇔a=0且b=0;(4)z为纯虚数⇔a=0且b≠0.2.共轭复数有关性质的应用技巧(1)z·𝑧=|z|2=|𝑧|2;(2)z∈R⇔𝑧=z;(3)z≠0,z为纯虚数⇔𝑧=-z.专题一专题二专题三【应用1】已知a+3ai=4i,则复数a=.提示:设a=x+yi(x,y∈R),利用复数相等的充要条件求解.解析:设a=x+yi(x,y∈R),则x+yi+3(x+yi)i=4i,所以(x-3y)+(3x+y)i=4i.由复数相等的充要条件,得𝑥-3𝑦=0,3𝑥+𝑦=4,解得𝑥=65,𝑦=25.所以a=65+25i.答案:65+25i.专题一专题二专题三【应用2】设存在复数z同时满足下列条件:(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限;(2)z·𝑧+2iz=8+ai(a∈R).试求实数a的取值范围.提示:可设出复数z=m+ni(m,n∈R),由(1)得m0,n0.由(2)知两边的复数相等,需表示出两边复数的实部、虚部,再根据复数相等的充要条件转化.解:设z=m+ni(m,n∈R),则z·𝑧=m2+n2.由(1),知m0,n0.由(2),得m2+n2+2i(m+ni)=8+ai,即m2+n2-2n+2mi=8+ai.∴𝑚2+𝑛2-2𝑛=8,2𝑚=𝑎.∴a2=4m2=4(8-n2+2n)=4[-(n-1)2+9].∵n0,∴a2≤36,∴|a|≤6.∵m0,∴a0,∴-6≤a0.∴a的取值范围是{a|a∈R,且-6≤a0}.专题一专题二专题三专题二复数的运算(1)复数的四则运算的步骤复数的四则运算顺序与实数运算顺序一致,即先算乘方,再算乘除,后算加减.(2)同时要注重复数运算中的技巧①(1±i)2=±2i;②1+i1-i=i;1-i1+i=-i;③i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈Z).专题一专题二专题三【应用3】复数(2+2i)4(1-3i)5等于.提示:直接运算比较麻烦,注意到分子提取24后变为(1+i)4,分母提取-25变为-12+32i5,可以利用(1+i)2=2i,-12+32i3=1来简化求解.解析:原式=16(1+i)4-25-12+32i5=-12×(2i)2-12+32i2=2-12+32i-12+32i3=-1+3i.答案:-1+3i专题一专题二专题三【应用4】满足z+5𝑧是实数,且z+3的实部与虚部互为相反数的虚数z是否存在?若存在,求出虚数z;若不存在,请说明理由.解:设虚数z=x+yi(x,y∈R,且y≠0),则z+3=x+3+yi,z+5𝑧=x+yi+5𝑥+𝑦i=x+5𝑥𝑥2+𝑦2+𝑦-5𝑦𝑥2+𝑦2i.由已知,得𝑦-5𝑦𝑥2+𝑦2=0,𝑥+3=-𝑦.∵y≠0,∴𝑥2+𝑦2=5,𝑥+𝑦=-3,解得𝑥=-1,𝑦=-2或𝑥=-2,𝑦=-1.故存在虚数z=-1-2i或z=-2-i满足题意.专题一专题二专题三专题三化归思想的应用复数的代数形式是z=x+yi(x,y∈R),所以任意一个复数都可由实数对(x,y)唯一确定,利用复数的代数形式,在处理复数相等、复数的模、复数对应点的轨迹问题时,都可以化归为实数x,y应满足的条件的问题,即复数问题实数化,这一思想方法渗透于本章的各个知识点.专题一专题二专题三【应用5】设z∈C,满足z+1𝑧∈R,z-14是纯虚数,求z.提示:设z=x+yi(x,y∈R),根据条件转化为方程组求解.解:设z=x+yi(x,y∈R),则z+1𝑧=(x+yi)+1𝑥+𝑦i=𝑥+𝑥𝑥2+𝑦2+𝑦-𝑦𝑥2+𝑦2i.因为z+1𝑧∈R,所以y-𝑦𝑥2+𝑦2=0.所以y=0或x2+y2=1.又z-14=𝑥-14+yi是纯虚数,所以y≠0,x-14=0,即x=14,代入x2+y2=1,得y=±154.故z=14±154i.专题一专题二专题三【应用6】已知𝑧𝑧-1是纯虚数,求z在复平面内对应的点的轨迹.提示:由𝑧𝑧-1是纯虚数,可设z=x+yi(x,y∈R).利用复数的除法求出𝑧𝑧-1,然后令其实部为0.解:设z=x+yi(x,y∈R),则𝑧𝑧-1=𝑥+𝑦i(𝑥-1)+𝑦i=(𝑥+𝑦i)[(𝑥-1)-𝑦i](𝑥-1)2+𝑦2=(𝑥2+𝑦2-𝑥)-𝑦i(𝑥-1)2+𝑦2.∵𝑧𝑧-1是纯虚数,∴𝑥2+𝑦2-𝑥=0,𝑦≠0.即𝑥-122+y2=14(y≠0).∴z的对应点的轨迹是以12,0为圆心,12为半径的圆,并去掉点(0,0)和点(1,0).