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平面向量数量积习题课复习回顾1.两个向量数量积：.cos||||baba2.平面向量数量积的坐标表示:3.向量平行与垂直的判定:.2121yyxxba.02121yyxxba.0//1221yxyxba222121||()()ABxxyy4.平面内两点间的距离公式：aaa5.求模：22yxa222121()()axxyy6.求夹角：cos=||||abab121222221122xxyyxyxy142.(,),.aa已知求与垂直的单位向量21.,.ababab已知且（1，0），求，的坐标单位向量5255255555（，-）或（-，）1313222213132222(,)(,)(,)(,)aabb或3.O00A(1,2),B(4,5),OP=OA+t(),PABtR已知（，），且求：（1）t为何值时，点P在x轴上？点在二四象限角平分线上？点P在第二象限？（2）四边形OABP能否围成平行四边形？若能，求t值；不能，则说明理由.23t12t2133t不能40.ABCAB=a,BC=b,abABCA.B.C.D.在三角形中，若，则三角形为（）.直角三角形锐角三角形钝角三角形不能判断(2,3),(1,),ABACkABC5.在ABC中，设且是直角三角形，求k的值。0abD211313332或或63012.ex红对勾第课时，8.()ABCOAMOBOC在△中，为中线上的一个动点，若AM=2,则OA的最小值.ABCMO172.(1,7),51Py=PAPBOP.OBx平面内有向量OA（，），点是函数上的任意一点，求取最小值时的坐标（4，2）-2911.,(,),cosababa设向量的夹角为，且（3，3），2则10.,.abababaab已知，是两个非零向量，同时满足求与的夹角1101075.,,,,.abcabcbc已知且试求与夹角余弦值3101030°13350,πππA.0B.C.D.632aa若向量a与b不共线，ab，且c=a-()b则向量aba与c的夹角为（）.60412,,.(),;().OAaOBbAOBababababaaba已知向量∠，且与的夹角及与的夹角cos=||||abab1.,.abababaab已知，是两个非零向量，同时满足求与的夹角30°求夹角.abab已知=（-2，-1），（，1），若与的夹角为钝角，求的取值范围216027°2..abababtabatbt设两向量，满足，，与的夹角为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围1414221(-7,-)(-,-)2113.,(,),cosababa设向量的夹角为，且（3，3），2则010754.,,,,.abcabcbc已知且试求与夹角余弦值31010133505.,πππA.0B.C.D.632aa若向量a与b不共线，ab，且c=a-()b则向量aba与c的夹角为（）.D12OABCHBD;()AHDCOHOAOBOC已知是△的外心，为垂心，为外接圆直径.求证（）平面几何中的向量ABDCHOABCMNLLMNABCBCCAABBLCMAN=,=,.AL+BM+CN=0,.BCCAABlmnlmn已知点、、分别是△边、、上的点，且若求，，关系.lmn证明112233(,),(,),(,),.PABCAxyBxyCxyP是重心，求坐标ACBP平面几何中的向量方法向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ABCD1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？FE平行四边形四边平方和等于两对角线平方和例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaAB,解：设，则baDBbaACaDAbBC;,,2222222222ACabaabbBDabaabb∴222222BDACDACDBCAB22222ACBDab（）（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；常设基底向量或建立向量坐标。（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：简述：形到向量向量的运算向量和数到形例2如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：AR=RT=TC又因为共线，所以设EREB与12()ERmEBmab因为所以ARAEER1122()rbmab1122()()nabbmab因此ABCDEFRTbaACbADaAB,解：设则由于与共线，故设ARACRnbanrAR,)(102()()mnmanb即0102nmmn,ab由于向量不共线，1解得：n=m=3111333,,ARACTCACRTAC所以同理于是故AT=RT=TCABCDEFRT练习1、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。CBAC0CBAC解：设则，由此可得：bOCaAO,baCBbaAC,babaCBAC2222baba022rr即，得∠ACB=90°0CBAC思考：能否用向量坐标形式证明？ab练习2平行四边形ABCD中,E为AB的中点,用向量方法,求EF:FD的值(可选为基底)bADaAB,ABCDEF简解:设FDEFbaAF12111ACAF又因为A、F、C共线，可设baAF由向量相等知识得1)1(2121所以EF：FD=1：2122363,MAMB=ABCMCMCBCA若等边△的边长为，平面内一点满足则ABC,,,,.BCaCAbABcabbccaABC在△中，已知则△是什么三角形投影3221(,),(,),.ababba已知向量与的夹角为，则向量在方向上的投影ABCA(34)B(0,0)C(c,0),(1)c=5,sinA.A已知△顶点坐标是，若求的值（2）若∠是钝角，求c的取值范围.43232611,()().(),,.abababababaACbABC已知，与的夹角（2）求（3）若AB求△面积