2.2.2反证法

第二章推理与证明2.2.2反证法温故迎新1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程.综合法:已知条件结论分析法:结论已知条件路边苦李王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李.证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°.引例已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°证明：假设的三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，ABC所以∠A60°，∠B60°，∠C60°∴∠A+∠B+∠C180°这与相矛盾.三角形内角和等于180°∴不能成立，所求证的结论成立.假设先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确。这种证明方法就是-----反证法探究定义把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明注：反证法是最常见的间接证法。一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。探究定义否定结论——推出矛盾——肯定结论即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；探究反证法的证明过程归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与假设矛盾或自相矛盾;（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾.反证法的思维方法：正难则反典例剖析---类型一因为，所以.bb且,b例1:已知直线和平面,如果且,求证:.ba,ba,ba////a证明：因为a∥b，所以经过直线确定一个平面.ba,ba,下面用反证法证明直线与平面没有公共点.假设直线与平面有公共点P,则,即点P是直线a与b的公共点,这与矛盾,所以.aabPba////a因为,而所以与是两个不同的平面.aaabP注：不易直接证明的命题常用反证法例2.证明：不可能成等差数列5,3,2注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”，“不能表示为……”，“不是……”，“不存在……”，“不等于……”，“不具有某种性质”等)常用反证法典例剖析---类型二证明:假设能成等差数列，则5,3,2两边平方得:232522(23)(25)5210化简得:两边平方得:2540此式显然不成立，所以假设错误不可能成等差数列2,3,5所以例3.已知a≠0，证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。证：假设方程ax+b=0(a≠0)至少存在两个根，1212不妨设其中的两根分别为x，x且x≠x12则ax=b，ax=b12∴ax=ax12∴ax-ax=012∴a（x-x）=0∴a=0与已知a≠0矛盾,故假设不成立，结论成立。12120xxxx注：唯一性命题(命题的结论是“有且只有”，“只有一个，“唯一存在”等)常用反证法。典例剖析---类型三：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°.已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°典例剖析---类型四：注：至多至少型命题常用反证法。（1）直接证明有困难正难则反!归纳总结：哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”（3）存在性、唯一性命题（2）否定性命题（4）至多，至少型命题反证法的一般步骤先假设命题的结论不成立从假设出发，经过推理得出矛盾否定假设肯定原命题分清条件和结论1、知识小结：反证法证明的思路：假设命题的结论不成立→正确的推理,得出矛盾→否定假设，肯定待证明的命题2、难点提示:利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。“至少”的反面是“没有”，“最多”的反面是“不止”。小结原词语否定词原词语否定词等于任意的是至少有一个都是至多有一个大于至少有n个小于至多有n个对所有x,成立对任何x，不成立准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.不是不都是不大于不小于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某个x，不成立存在某个x,成立不等于某个1、写出用“反证法”证明下列命题的“假设”.(1)互补的两个角不能都大于90°.(2)△ABC中,最多有一个钝角假设互补的两个角都大于90°.假设△ABC中,至少有两个钝角（3）“若a2≠b2,则a≠b”。假设a=b巩固新知:1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.假设这个数是奇数,可以设为2k+1,.Zk证:144)12(22kkk则有而）（Zkkk1442不是偶数这与原命题条件矛盾.肯定条件尝试练习所以原命题成立2.求证：是无理数。2证：假设是有理数。2则存在互质的整数使得mm，n2=，n∴m=2n22∴m=2n是偶数，从而必是偶数，故设2∴mmm=2k（kN）从而有即22224k=2n，n=2k也是偶数2∴n，这与互质矛盾！m，n所以假设不成立是有理数成立。，2