分式方程的解法及应用(基础)导学案+习题【含答案】

分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1.了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2.会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程1、下列方程中，是分式方程的是（）．A．3214312xxB．124111xxxxxC．21305xxD．xaxab，（a，b为非零常数）【答案】B；【解析】A、C两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B项中的方程符合分式方程的定义．【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数．类型二、解分式方程2、解分式方程（1）10522112xx；（2）225103xxxx．【答案与解析】解：（1）10522112xx，将方程两边同乘(21)x，得10(5)2(21)x．解方程，得74x．检验：将74x代入21x，得52102x．∴74x是原方程的解．（2）225103xxxx，方程两边同乘以(3)(1)xxx，得5(1)(3)0xx．解这个方程，得2x．检验：把2x代入最简公分母，得2×5×1＝10≠0．∴原方程的解是2x．【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项．特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根．举一反三：【变式】解方程：21233xxx．【答案】解：21233xxx，方程两边都乘3x，得212(3)xx，解这个方程，得3x，检验：当3x时，30x，∴3x是增根，∴原方程无解．类型三、分式方程的增根【高清课堂分式方程的解法及应用例3（1）】3、m为何值时，关于x的方程223242mxxxx会产生增根？【思路点拨】若分式方程产生增根，则(2)(2)0xx，即2x或2x，然后把2x代入由分式方程转化得的整式方程求出m的值．【答案与解析】解：方程两边同乘(2)(2)xx约去分母，得2(2)3(2)xmxx．整理得(1)10mx．∵原方程有增根，∴(2)(2)0xx，即2x或2x．把2x代入(1)10mx，解得4m．把2x代入(1)10mx，解得6m．所以当4m或6m时，方程会产生增根．【总结升华】处理这类问题时，通常先将分式方程转化为整式方程，再将求出的增根代入整式方程，即可求解．举一反三：【变式】如果方程11322xxx有增根，那么增根是________．【答案】2x；提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母20x或20x可得2x．所以增根是2x．类型四、分式方程的应用4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?【思路点拨】本题的等量关系为：甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．【答案与解析】解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种2x棵树．由题意可得60662xx，解这个方程，得20x．经检验20x是原方程的根且符合题意．所以222x(棵)．答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．【总结升华】解此题的关键是设出未知数后，用含x的分式表示甲、乙两班种树所用的时间．举一反三：【变式】两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快?【答案】解：设乙队单独施工1个月能完成工程的1x，总工程量为1．根据工程的实际进度，得1111362x．方程两边同时乘以6x，得236xxx．解这个方程得1x．检验：当1x时，6x＝6≠0，所以1x是原分式方程的解．由上可知，若乙队单独工作1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的13，可知乙队施工速度快．答：乙队施工速度快．【巩固练习】一.选择题1．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（）A．11xxB．4132xxC．52433xxD．6516xx2．解分式方程12112xx，可得结果()．A.1xB.1xC.3xD.无解3．要使54xx的值和xx424的值互为倒数，则x的值为()．A.0B.－1C.21D.14．已知4321yyxx，若用含x的代数式表示y，则以下结果正确的是()．A.310xyB.2yxC.310xyD.72yx5．若关于x的方程xkx1113有增根，则k的值为()．A.3B.1C.0D.－16．完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需b小时，则两人合作完成这项工作的80％，所需要的时间是()．A.)(54ba小时B.)11(54ba小时C.)(54baab小时D.baab小时二.填空题7.当x＝______时，分式3x与26x的值互为相反数．8．仓库贮存水果a吨，原计划每天供应市场m吨，若每天多供应2吨，则要少供应______天．9．x＝______时，两分式44x与13x的值相等．10．当a＝______时，关于x的方程4532xaax的根是1．11．若方程114112xxx有增根，则增根是______．12．关于x的方程11xa的解是负数，则a的取值范围为____________．三.解答题13.解下列分式方程：（1）11322xxx；（2）257233212xxxxx；（3）2210121xxxx．14.甲、乙两地相距50km，A骑自行车，B乘汽车，同时从甲城出发去乙城．已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，B中途休息了0.5小时还比A早到2小时，求自行车和汽车的速度．15.有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】C选项中分母不含有未知数，故不是分式方程.2.【答案】D；【解析】1x是原方程的增根.3.【答案】B；【解析】由题意442154xxxx，化简得：2415xx解得1x.4.【答案】C；【解析】由题意1423xyxy，化简得：310yx，所以选C.5.【答案】A；【解析】将1x代入31xk，得3k.6.【答案】C；【解析】由题意4114()55ababab，所以选C.二.填空题7.【答案】18；【解析】3206xx，解得18x.8.【答案】222amm；【解析】原计划能供应am天，现在能供应2am天，则少供应222amm天.9.【答案】－8；【解析】4341xx，解得8x.10.【答案】173；【解析】将1x代入原方程，得85512aa，解得173a.11.【答案】1x；【解析】原方程化为：22141xx，解得1x，经检验1x是增根.12.【答案】1a且a≠0；【解析】原方程化为110axxa，，解得1a.x≠-1，解得a≠0.三.解答题13.【解析】解：(1)方程的两边都乘2x，得113(2)xx．解这个整式方程，得x＝2．检验：当x＝2时，x－2＝0，所以2是增根，所以原方程无解．(2)方程两边同乘(2)(1)xx约去分母，得572(2)3(1)xxx．整理，得5757xx．这个式子为恒等式.检验：当1x，2x时，(2)(1)0xx，所以1x和2x是增根．因此，原方程的解是1x且2x的任何实数．(3)方程两边同乘(2)(1)(1)xxx，得(2)2(1)(1)(2)(1)0xxxxxx．解此方程，得45x．检验：把45x代入(2)(1)(1)xxx得4442110555，所以原方程的解是45x．14.【解析】解：设自行车的速度为/xkmh，汽车的速度为2.5/xkmh，由题意，50500.522.5xx，解方程得：125506.25x12x经检验，12x是原方程的根，2.530x.所以自行车的速度为12/kmh，汽车的速度是30/kmh.答：自行车的速度为12/kmh，汽车的速度是30/kmh.15.【解析】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为1x，则：10(1)281xxx．解方程得：3x．经检验：3x是原方程的根．所以个位上的数字为：1x＝3＋1＝4．所以这个两位数是：3×10＋4＝34．答：这个两位数是34．