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五年级奥数竞赛课本在线课堂上册第4讲环形路线•行程问题专题今天的主角是箭头哥和跑道君，所有的故事都围绕着它们两个......知识精讲在环形路线中，跑道君的气质不同啦！顾名思义，环形路线的运动路径是一个封闭的曲线，这就意味着从一个点出发，跑完一圈之后会回到出发点，这就意味着环形路线中的相遇和追及问题，肯定是与直线型中有不同的。知识精讲如左图，两个小人在环形跑道上从A点出发背向走，结果会在B点相遇。咱们仔细观察就会发现，两人走过的路程之和就是一个圆周长。也就是说：路程和=跑道周长相遇时间=周长÷速度和（两人速度之和）A知识精讲如左图，两个小人在环形跑道上从A点出发同向走，结果跑得快的会在C点追上跑得慢的。咱们仔细观察就会发现，两人走过的路程之差就是一个圆周长。也就是说：路程差=跑道周长追及时间=周长÷速度差（两人速度之差）AC知识精讲环形相遇：背向运动，路程和=跑道周长相遇时间=周长÷速度和（两人速度之和）环形追及：同向运动，路程差=跑道周长追及时间=周长÷速度差（两人速度之差）总结一下例题一：小紫和小蓝沿着周长为300米的操场跑步，小紫的速度为5m/s，小蓝的速度为7m/s，若两人同时从同一点出发，背向而行，那么多少秒后第一次相遇。如果他们继续不停跑下去，两分钟内一共会相遇多少次？最后一次相遇时距离出发点多远?【分析】请同学们在右边的圆上画出两人运动的过程，两人第一次相遇需要多长时间呢？第二次相遇需要多长时间？那两分钟之内相遇多少次呢？练习一：在420米的圆形跑道上，甲、乙两人从同一点出发，背向而行，甲的速度是8m/s的速度；乙是6m/s，那么两人第8次相遇时距离出发点多远?知识精讲从例题1可以看出，每相遇一次就要跑一个圆周，那么多次相遇就是跑多个圆周，所以环形跑道中相遇问题是有周期性的，同样的，追及问题肯定也是有周期性的。这样善用周期性，我们解决多次相遇或追及问题就简单多了！例题二：有一个周长是40米的圆形水池，甲沿着水池散步，每秒钟走1米。乙沿着水池跑步，每秒钟跑3.5米。甲、乙从同一地点同时出发，同向而行，当乙第8次追上甲时，他还要跑多少米才能回到出发点？【分析】在环形路线上，快的每追上慢的一次就要多跑一圈，本题乙第8次追上甲时，就比甲多跑了8圈，这时怎么确定两人的位置？练习二：一环形跑道，周长为400米，甲、乙两名运动员，同时顺时针自起点出发，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑275米，甲第四次追上乙时距离起点多少米？如果不是同地出发，环形路线问题还具有周期性吗？例题三：甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲以每分钟300米的速度从起点跑出，一分钟后，乙以每分钟280米的速度从起点同向跑出，请问甲出发后多少分钟第一次追上乙？如果追上后他们的速度保持不变，甲还需要再过多少分钟才能第10次追上乙？【分析】从乙出发到甲第一次追上乙。与从甲第一次追上乙到第二次追上乙间隔的时间一样吗？从第几次追上开始就具有周期性了？练习三：周长为400米的圆形跑道上有相距100米的A、B两点，甲、乙两人分别从A、B两点同时相背而跑，速度分别是3米/秒和2米/秒，多少秒后两人第一次相遇，如果相遇后，两人的速度保持不变，再过多少秒两人第10次相遇？总的来说，环形上的行程问题比直线上的情况变化更多更繁琐，在运动过程较复杂的题目中，我们必须认真画图，仔细分析每一段运动过程。例题四：如图甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点A、B开始，同时匀速反向绕此圆形路线运动。当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处第二次相遇，求此圆形场地的周长？【分析】题目中的已知条件很少，知道两个与路程有关的量，我们很难直接计算周长，先画图分析一下运动过程，观察你所画出的示意图，题目给出的100米和60米是图中的哪一段？如何利用这两段长度？AB练习四：有一个环形跑道，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，乙的速度快于甲，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的地点，已知A、B长是跑道总长的四分之一，请问跑道周长为多少米？ACBD例题五：小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步项目，小鹿比小山羊稍快，如果从同一起点出发背向而行，1小时后正好第5次相遇，如果从同一起点出发，同向而行，那么经过1小时才第1次追上，请问小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少，想一想跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，那么周长的取值不同，对于结果有没有影响？挑战极限例题六：如图一个正方形房屋的边长为12米，阿呆阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，而阿瓜每秒钟行3米，问阿呆第一次看见阿瓜时阿瓜距离出发点多少米？【分析】第一次看见阿瓜的时候，一定是刚到达某个墙角的时候，应该是哪个墙角呢？挑战极限课堂检测（1）甲、乙两人在600米长的环形跑道上，各自以不变的速度慢跑，如果两人同时从同地相背而跑，四分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需6分钟，那么乙跑一周需多长时间？（2）甲、乙两人在一个周长为180米的圆形跑道上跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，如果两人从同一点同时出发，反向跑步多少秒后，第一次相遇再过多少秒两人第二次相遇，在10分钟内，两人相遇多少次？（3）有一个圆形跑道，甲、乙两人同时从同一点沿同一方向出发，当甲跑完7圈到达出发点时恰好第二次追上乙，如果甲的速度是14米每秒，那么乙每秒跑多少米？课堂检测（4）有一个周长是80米的圆形水池，甲沿着水池散步，速度为1米每秒，乙沿着水池跑步，速度为2.2米每秒，并且与甲的方向相反，如果他俩从同一地点同时出发，那么当乙第8次遇到甲时还要跑多少米才能回到出发点？（5）甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点A、B开始，同时匀速反向绕此圆形路线运动。当甲走了160米后，他们第一次相遇。在乙走过A后20米的D处又第二次相遇，求此圆形场地的周长？易学习THANKYOU下次再见~~~~