第四节 高斯(Gauss)求积公式

数值分析前面介绍的n+1个节点的Newton-Cotes求积公式，其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式的精度。n是偶数时，代数精度为n+1，n是奇数时，代数精度为n。我们知道n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n。设想：能不能在区间[a,b]上适当选择n+1个节点x0x1,x2,……,xn,使插值求积公式的代数精度高于n？答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。第四节高斯(Gauss)求积公式数值分析数值分析0()()()()nbkkakIfxfxdxAfx考虑更一般形式的数值积分问题定义：若求积公式对一切不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p)=0;而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的代数精度为m.0()()()nbkkakxfxdxAfx一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法数值分析数值分析定理1：设节点x0,x1…,xn∈[a,b]，则求积公式的代数精度最高为2n+1次。0()()()nbkkakxfxdxAfx分别取f(x)=1,x，x2，...xr代入公式，并让其成为等式，得：A0+A1+……+An=∫ab1dx.=b-ax0A0+x1A1+……+xnAn=∫abxdx.=（b2-a2)/2......x0rA0+x1rA1+……+xnrAn=∫abxrdxr=(br+1-ar+1)(r+1)()1,x取特殊情形证明：数值分析数值分析事实上,取2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x-xn)2代入求积公式,这里x0,x1…,xn是节点，有0()()0()0nbkkakxgxdxAgx左，右左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为2n+1次。证毕.上式共有r+1个等式，2n+2个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数,即r+1=2n+2,这样导出求积公式的代数精度至少是2n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.数值分析数值分析定义:使求积公式达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为Guass系数.0()()()nbkkakxfxdxAfx因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有结论:n+1个节点的插值型求积公式的代数精度d满足：nd2n+1。数值分析数值分析111221()()()(1)fxdxcfxcfx例：选择系数与节点，使求积公式（1）成为Gauss公式。解：n=1,由定义，若求积公式具有3次代数精度，则其是Gauss公式。为此，分别取f(x)=1,x，x2，x3代入公式，并让其成为等式，得c1+c2=2c1x1+c2x2=0c1x12+c2x22=2/3c1x13+c2x23=0求解得：12121,33,33ccxx1133()()()33fxdxff所求Gauss公式为：(1)用待定系数法构造高斯求积公式数值分析数值分析设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列，Pn(x)具有如下性质：1）对每一个n,Pn(x)是n次多项式。n=0,1,…2）()()()0,()bijaxPxPxdxij(正交性)()()()0,1bnaxPxPxdxn3）对任意一个次数≤n-1的多项式P(x)，有4）Pn(x)在(a,b)内有n个互异零点。（2）利用正交多项式构造高斯求积公式数值分析数值分析定理2设x0,x1,…,xn是n+1次正交多项式Pn+1(x)的n+1个零点,则插值型求积公式是Guass型求积公式。证明：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。00()()(),()nnbbikkkaakikiikxxxfxdxAfxAxdxxx设f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式，则有f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足f(xk)=r(xk)这里，Pn+1(x)是n+1次正交多项式，q(x)、r(x)均是次数≤n的多项式。1()()()()()()()bbbnaaaxfxdxxqxPxdxxrxdx数值分析数值分析由性质3）及(4)式，有11()()()()()()()0()()()bbbnaaanbkkakxfxdxxqxPxdxxrxdxxrxdxAfx由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n，故有00()()()()(4)nnbkkkkakkxrxdxArxAfx即对f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。证毕数值分析数值分析利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：高斯点），作为积分点次正交多项式的零点以(,,1.110nxxxnniiinxfxlxfLagrangexfxxx010)()()()(,,.2插值多项式作对用高斯点代入积分式)()()())()()(()()(00inibaibaniiibaxfdxxlxdxxfxlxdxxfx因此，求积系数为baiinidxxlxA),1,0()()(数值分析数值分析1211(),.xfxdx对于积分（）试构造两点高斯求积公式例2111xx首先在，上构造带权（）的解：正交多项式0120110(),(),().()1()()()xxxxxxxx0)1()1())(),(())(),((11211200001dxxxdxxxxxxx52)(22xx同理求出20122(),55xxx的零点为数值分析数值分析20122(),55xxx以的零点作为高斯点。其成为等式。依次代入上式两端，令将形如次代数精度，求积公式应有两点高斯公式xxfxfAxfAdxxfxn,1)()()()()1(3,11111002)52()52()1()1(1011210112AAxdxxAAdxx3410AA联立解出)52()52(34)()1(112ffdxxfx为得到两点高斯求积公式数值分析数值分析常用的高斯求积公式1.Gauss-Legendre求积公式(1)其中高斯点为Legendre多项式的零点110()()nkkkfxdxAfxGuass点xk,Guass系数Ak都有表可以查询.数值分析数值分析数值分析数值分析110()()nkkkfxdxAfx110,()2(0)nfxdxf111()(0.5773502692)(0.5773502692)nfxdxff112()0.555555556(0.7745966692)0.888888889(0)0.555555556(0.7745966692)nfxdxfff数值分析数值分析11:1.5xdx运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积公式计算积分例111.50.555556(0.7254032.274596)0.8888891.52.39970:9xdx由三点高斯-勒让德求积公式有解1111.5(0.541.52.5)2.3957423xdx由三点辛卜生求积公式有111.52.399529xdx该积分的准确值数值分析数值分析一般区间的Gauss-Legendre求积公式如果积分区间是[a,b]，用线性变换11()()222bababaabfxdxftdt这样就可以用Gauss-Legendre求积公式计算一般区间的积分.将积分区间从[a,b]变成[-1,1],由定积分的换元积分法有22baabxt数值分析数值分析11()(0.577)(0.577)GaussLegendreFtdtFF由两点求积公式100101100110()1,,()()()fxdxnGaussLegendreGaussxxAAfxdxAfxAfxGauss对积分，试利用的两点求积公式构造型求积公式。例即确定和使为型求积公式。1110111111()()(1),2222111()((1))()222xabbattdxdtfxdxftdtFtdt先作变量代换于是解：1101111111()((1))((10.577))((10.577))222222fxdxftdtff得数值分析数值分析111012301231()()()()()()FtdtGaussLegendreFtdtAFtAFtAFtAFt对积分用四点求积公式10012301231001122330()3,,,,,,()()()()()fxdxnGaussLegendreGaussxxxxAAAAfxdxAfxAfxAfxAfxGauss对积分，试利用的四点求积公式构造型求积公式。即确定和使为型求例积公式。1110111111()()(1),2222111()((1))()222xabbattdxdtfxdxftdtFtdt先作变量代换于是解：数值分析数值分析,(0,1,2,3)iitAi可查表得到和原积分110101230123012012331()()21(()()()())21111(((1))((1))((1))22221((1)))211(1)0,1,2,322iiiifxdxFtdtAFtAFtAFtAFtAftAftAftAftxtAAi即有数值分析数值分析10()0.173927(0.069432)0.326073(0.330009)0.326073(0.669991)0.173927(0.930518)fxdxffff于是01230.8611360.3399810.3399810.8611360.3478550.6521450.6521450.3478550.0694320.3300090.6699910.9305680.1739270.3260730.3260730.173927iiiiitAxA列表如下：11(1)0,1,2,322iiiixtAAi数值分析数值分析例利用高斯求积公式计算解:令x=1/2(1+t),则用高斯-Legendre求积公式计算.取n=4积分精确值为I=ln2=0.69314718…由此可见，高斯公式精确度是很高的.101dxx110113dxdtIxt0.69314719I数值分析数值分析例:分别用不同方法计算如下积分,并做比较各种做法比较如下：1、用Newton-Cotes公式当n=1时，即用梯形公式，I≈0.9270354当n=2时,即用Simpson公式,I≈0.9461359当n=3时,I≈0.9461090当n=4时,I≈0.9460830当n=5时,I≈0.946083010sinxIdxxI准=0.9460831数值分析数值分析10sin(0)2()(7)(1)20.94569086xhdxffhfhfx2:用复化梯形公式令h=1/8=0.1253：用复化辛卜生公式令h=1/8=0.12510sin(0)4()(7)2(2)(6)(1)30.9460833xdxxhffhfhfhfhfI准=0.9460831数值分析数值分析4、用Romberg公式KTnSnCnRn00.920735510.93979330.946145920.94451350.9