概率论与数理统计习题1及答案

1概率论与数理统计习题及答案习题一1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点.（1）掷一颗骰子，出现奇数点.（2）掷二颗骰子，A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”B=“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.”（3）将一枚硬币抛两次，A=“第一次出现正面.”B=“至少有一次出现正面.”C=“两次出现同一面.”【解】1123456135A（），，，，，，，，；(2)(,)|,1,2,,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(ijijABAB，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反,),(,),(,),C正正正反反2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）ABC（2）ABC（3）ABC（4）A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC2(5)ABC=ABC(6)ABC(7)ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C(8)AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC5.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)]=1[0.70.3]=0.67.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,（1）在什么条件下P（AB（2）在什么条件下P（AB【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.9.（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同）（2）设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P（A2）=5567=(67)5(3)设A3={五个人的生日不都在星期日}P（A3）=1P(A1)=1(17)510.从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有350C种取法.因只有一件次品,所以从45个正品中取2个,共245C种取法;从5个次品中取1个,共15C种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为245C15C种,所以所求概率为21455350CCPC.11.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（nN）.试求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.3（1）n件是同时取出的；（2）n（3）n件是有放回逐件取出的.【解】（1）P（A）=CC/CmnmnMNMN(2)由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PnN种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有PmM种，从NM件次品中取nm件的排列数为PnmNM种，故P（A）=CPPPmmnmnMNMnN由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P（A）=CCCmnmMNMnN可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cmn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，nm次取得次品，每次都有NM种取法，共有（NM）nm种取法，故()C()/mmnmnnPAMNMN此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m件正品的概率为()C1mnmmnMMPANN12.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A={发生一个部件强度太弱}133103501()CC/C1960PA13.7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.4213434233377CCC184(),()C35C35PAPA故232322()()()35PAAPAPA14.0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）(1)1212()()()0.70.80.56PAAPAPA(2)12()0.70.80.70.80.94PAA(3)2112()0.80.30.20.70.38PAAAA15.3次正面才停止.（1）问正好在第6次停止的概率；（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1）223151115()()22232pC(2)1342111C()()22245/325p18.0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率.【解】设A={下雨}，B={下雪}.（1）()0.1()0.2()0.5PABpBAPA（2）()()()()0.30.50.10.7pABPAPBPAB19.3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87PABPBAPA或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7PBA20.5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式5()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA0.50.05200.50.050.50.00252121.9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy|30.如图阴影部分所示.22301604P22.0，1）中随机地取两个数，求：（1）两个数之和小于65的概率；（2）两个数之积小于14的概率.【解】设两数为x,y，则0x,y1.（1）x+y65.11441725510.68125p(2)xy=14.1111244111ddln242xpxy623.P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B）【解】()()()()()()()()PABPAPABPBABPABPAPBPAB0.70.510.70.60.5424.15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有30()()()iiiPBPBAPA33123213336996896796333333331515151515151515CCCCCCCCCCCCCCCCCC0.08925.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA0.20.110.027020.80.90.20.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2)()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA0.80.140.30770.80.10.20.913即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26.将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而7B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？【解】设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}C={收到信息是A}，则={收到信息是B}由贝叶斯公式，得()()()()()()()PAPCAPACPAPCAPAPCA2/30.980.994922/30.981/30.0127.【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=13,i=0,1,2.又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知111120()()()()()()()iiiPBAPAPABPABPBPBAPA2/31/311/31/32/31/311/3328.96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA0.960.980.9980.960.980.040.0529..统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)PADPAPDAPADPDPAPDAPBPDBPCPDC0.20.050.0570.20.050.50.150.30.330.80.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.412341()1()iiPAPAAAA12341()()()()PAPAPAPA10.980.970.950.970.12431.0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n次独立射击.1(0.8)0.9n即为(0.8)0.