三角函数知识点总结及高考题库(学生版)

-1-三角函数知识要点:定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义2角度制，把一周角360等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为l，则其弧度数的绝对值|α|=rl,其中r是圆的半径。定义3三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的非负半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=ry,余弦函数cosα=rx,正切函数tanα=xy,正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为36036090,kkk=22,2kkk第二象限角的集合为36090360180,kkk=22,2kkk任意角的概念弧长与扇形面积公式角度制与弧度制同角三函数的基本关系任意角的三角函数诱导公式三角函数的图象和性质计算与化简证明恒等式已知三角函数值求角和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用三角函数知识框架图-2-PvxyAOMT第三象限角的集合为360180360270,kkk=_________________第四象限角的集合为360270360360,kkk=___________终边在x轴上的角的集合为180,kk=____________________终边在y轴上的角的集合为18090,kk=_________________终边在坐标轴上的角的集合为90,kk=__________________3、与角终边相同的角的集合为360,kk=__________________4、已知是第几象限角，确定*nn所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域．5、弧度制与角度制的换算公式：2360，1180，180157.3．6、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，2Crl，21122Slrr．7、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．(口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦)8、三角函数线：sin，cos，tan．若2,0x，则sinxxtanx.9、同角三角函数的基本关系：221sincos12222sin1cos,cos1sin；;sin2tancossinsintancos,costan．10、三角函数的诱导公式：（把角写成2k形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）1sin2sink，cos2cosk，tan2tankk．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．5sincos2，cossin2．6sincos2，cossin2．-3-11、两角和与差的三角函数公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan1tantan（tantantan1tantan）；⑹tantantan1tantan（tantantan1tantan）．12、和差化积与积化和差公式:sinα+sinβ=2sin2cos2,sinα-sinβ=2cos2sin2,cosα+cosβ=2cos2cos2,cosα-cosβ=-2sin2sin2,sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=21[sin(α+β)-sin(α-β)],cosαcosβ=21[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-21[cos(α+β)-cos(α-β)].13、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．⑵2222cos2cossin2cos112sin（21cos2cos2，21cos2sin2）．⑶22tantan21tan．14、半角公式:sin2=2)cos1(2cos12cos；sincos1cos1sincos1cos12tan15、辅助角公式:22sincossin，其中tan．16、万能公式2tan12tan2sin2，2tan12tan1cos22，2tan12tan2tan217、函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的|1|倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx的图象．-4-函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移||个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx的图象．例：以sinyx变换到4sin(3)3yx为例sinyx向左平移3个单位（左加右减）sin3yx横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变）sin33yx纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin33yxsinyx横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变）sin3yx向左平移9个单位（左加右减）sin39yxsin33x纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin33yx注意：在变换中改变的始终是x。函数sin0,0yx的性质：①振幅：；②周期：2；③频率：12f；④相位：x；⑤初相：．函数sinyxB，当1xx时，取得最小值为miny；当2xx时，取得最大值为maxy，则maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx．-5-15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xxkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y．当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y．既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数．在2,2kkk上是增函数；在2,2kkk上是减函数．在,22kkk上是增函数．对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴三角函数题型分类总结一．三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有：a)常数代换法：如：22cossin1b)配角方法：)(,)(2,22,22函数性质-6-1、sin330=tan690°=o585sin=2、（1）(10全国Ⅰ)是第四象限角，12cos13，则sin__________（2）（11北京文）若4sin,tan05，则cos.(3)是第三象限角，21)sin(，则cos=)25cos(=3、(1)(09陕西)已知5sin,5则44sincos=.(2)（12全国文）设(0,)2，若3sin5，则2cos()4=.（3）（08福建）已知3(,),sin,25则tan()4=4.(1)(10福建)sin15cos75cos15sin105=(2)（11陕西）cos43cos77sin43cos167oooo=。（3）sin163sin223sin253sin313。5.(1)若sinθ＋cosθ＝15，则sin2θ=（2）已知3sin()45x，则sin2x的值为(3)若2tan,则cossincossin=6.（10北京）若角的终边经过点(12)P，，则cos=tan2=7．（09浙江）已知3cos()22，且||2，则tan＝8.若cos22π2sin4，则cossin=9.（09重庆文）下列关系式中正确的是（）A．000sin11cos10sin168B．000sin168sin11cos10C．000sin11sin168cos10D．000sin168cos10sin1110．已知53)2cos(，则22cossin的值为（）A．257B．2516C．259D．257-7-11．已知sinθ=－1312，θ∈（－2，0），则cos（θ－4）的值为（）A．－2627B．2627C．－26217D．2621712．已知f（cosx）=cos3x，则f（sin30（）A．1B．23C．0D．－113．已知sinx－siny=－32，cosx－cosy=32，且x，y为锐角，则tan(x－y)的值是()A．5142B．－5142C．±5142D．2814514．已知tan160o＝a，则sin2000o的值是()A.a1＋a2B.－a1＋a2C.11＋a2D.－11＋a215.若02,sin3cos，则的取值范围是：()（Ａ）,32（Ｂ）,3（Ｃ）4,33（Ｄ）3,32