二重积分的计算方法

第二节二重积分的计算法计算二重积分的方法:二重积分累次积分(即两次定积分).，(,)d(,)ddDDfxyfxyxydddxy故二重积分可写为xyoD则面积元素为一、利用直角坐标系计算二重积分(2)如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba［X－型］b)(2xy)(1xyaDxOyxOy)(1xy)(2xyDba,bxa).()(21xyx回忆：平行截面面积为已知的立体的体积xoxdxxab)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积，)(xA为x的已知连续函数d()dVAxx()dbaVAxx立体体积)(xA此方法关键是求的值等于)0),((d),(yxfyxfD计算截面面积),(yxfz(红色部分即A(x0))＊以D为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法:是区间)](),([0201xx为曲边的曲边梯形.),(0yxfz为底,曲线xyzO),(yxfzD)(2xy)(0xAab0x)(1xy),(yxfzD)(2xy)(0xAab0x)(1xyyzO)(01x)(02x),(0yxfzA(x0))(01x)(02xyyxfxAd),()(00yyxfxAxxd),()()()(21DyxfVd),(baxxAd)(xbad)d),(()()(21xxyyxfbaxxyyxfx)()(21d),(d先对y后对x的二次积分(累次积分)(2)积分区域为：,dyc)()(21yxyDyxfd),(先对x后对y的二次积分也即dcyyxyxfy)()(21d),(dDyxfd),(其中函数、)(1y)(2y],[dc在区间上连续.D)(2yxcd)(1yxxOyxOyD)(2yxcd)(1yxdcyd)d),((xyxf)(1y)(2y［Y－型］型区域时,将D分成几部分，使每部分是X-型区域或是Y-型区域.2.当D既是X-型区域也是Y-型区域时,可以用两个公式进行计算.ⅠⅡⅢyx0yx0cdabD特殊地Dbadcyyxfxyxfd),(dd),()()(),(21yfxfyxf若yxyfxfDdd)()(21即等于两个定积分的乘积.D为矩形域:则则a≤x≤b,c≤y≤dbaxxfd)(1yyfdcd)(2yyfxfdcd)()(21xd)ba(dcbaxyxfyd),(d二重积分是化为两次定积分来计算的，关键是确定积分限.定限要注意的问题：1.上限下限.2.内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数.3.外层积分上，下限应为常数(后积先定限).4.二重积分的结果应为常数.其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域.解法1：先y后x211d[d]dxDxyxyyx2211d2xyxx2342211d2284xxxxx··xyx012y=xy=1x=221xxy189：先x后y221d[d]dyDxyxyxy2221d2yxyy23422112d28yyyyyyx012y=xx=2··y21y2xy89是第一象限中由直线和围成区域例计算),1,1(,)0,0(3xyxy3xyxy(1,1)xyxxDX310:2ddxDexy22130()dxxxexex2310dxxxyex.121e2310ddxxxxey选取积分次序,不仅要看区域的特点,而且要看被积函数的特点.凡遇如下形式积分:等等,一定要放在后面积分.,dsinxxx,dsin2xx,dcos2xx,d2xex,d2xex,lndxx,dxexy1原式1100d(,)dyyfxyx.解积分区域如图yxyDY1010:例改变积分1100d(,)dxxfxyy的次序.例交换积分次序：axxaxayyxfx22202d),(d)0(a解axy222xaxy22yaaxxyOaa2aa2ayx22原式=xyxfd),(yday22xyxfd),(22yaa0aa222yaayd0axyxfd),(yda2ay22a2a例交换积分次序：解积分区域:xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式=10dyy2xyxfd),(211y22xxyxy2xyO12yx2211yx例求证axaxxfxayyfx000d)()(d)(d左边的累次积分中,提示xayyfx00d)(dayaxyfyd)(d0ayyfya0d)()(axxfxa0d)()(不能直接计算，)(yf是y的抽象函数,)0(a,0ayaxyaayyxyf0d)(证毕.要先交换积分次序.axyOa),(aa证明且这两个圆柱面的方程分别为及222Ryx.222Rzx解dD332R313168RVVd),(1DyxfV22xRy求所围成的立体的体积.xoyzoxyDR22xRyxRd2222xR0xd0R22xRz曲顶解曲面围成的立体如图.,yxz,xyz,1yx,0x.0y例求由下列曲面所围成的立体体积，yx,xyyx所求体积()dDVxyxy1100d()dxxxyxyy1301[(1)(1)]d2xxxx.247所围立体在xoy面上的投影是1yxxoy22:)(,||2yxdxyI为其中计算积分解oxy112xy)(1)(2I12()dyx22()dxy101154.3011补充轮换对称性结论:若D关于x,y满足轮换对称性(将D的边界曲线方程中的x与y交换位置,方程不变),则(,)dd(,)dd.DDfxyxyfyxxy)()()()(设的对称性得由区域关于直线xyyxxyxbyaIDdd)()()()(所以,DyxbaIdd)(2)(21baI,]1,0[)(上的正值连续函数为设x)(21dd)()()()(bayxyxybxaD证明：为常数，其中ba,例xybaxyO1,0),(yxyxD二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）小结21()()(,)dd(,)d.bxaxDfxyxfxyy21()()(,)dd(,)d.dycyDfxyyfxyx［Y－型］［X－型］（1）化二重积分为二次积分；（2）交换积分次序；题型(1)(77页)3.(1)(3)(4)4.5.6.(1)(2)7.(2)(3)(1)d1dyyxx计算(学生练习）sin(2)dd,,.DyxyDyxyxy由所围闭区域答案：.92)1(.1sin1)2((,)dd(,)d.xxxIxfxyyxfxyy交换积分次序解由给出的积分画出相应的积分区域oxy112xy2/xy.2,10:2yxyy区域可表示为2120d(,)d.yyIyfxyx练习