05(大连教育学院赵文莲)谈概念教学中-培养数学抽象素养的方式

谈在概念教学中培养“数学抽象”素养的方式大连教育学院赵文莲提纲一、数学抽象素养的含义二、培养数学抽象素养的方式数学是研究数量关系和空间形式的科学数学学习就是掌握概念、解决问题一、数学抽象素养的含义为了掌握概念，就要在数、形变化中抽象出关键属性，形成概念；为了解决问题，在概念的运用过程中就要发现新变化，解决新问题，这个过程中包括化归演绎、数据分析，甚至猜想与建模等。由此建立起来的学习经验，再来指导学生学习新的概念，学生的思维水平就是在这样的过程中螺旋上升的。高中数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体。下面我们就以核心素养中的“数学抽象”为例，谈谈如何在概念教学中培养学生的“数学抽象”素养。“数学抽象”素养的含义数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。数学抽象是形成理性思维的重要基础，贯穿在数学概念的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般化的系统。能在情境中抽象出数学概念、命题、方法，运用数学抽象的思维方式思考和解决问题，把握事物的本质；积累从具体到抽象的活动经验；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。对高中学生的要求：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系；从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构；用数学符号或者数学术语予以表述。高中阶段数学抽象的主要内容：从数量与数量关系中抽象（双曲线概念可类比于椭圆概念得到）；从图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系（函数的奇偶性概念可依此方法得到）；从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构（如指数函数、对数函数的概念及性质教学）；用数学符号或者数学术语予以表述（如函数单调性的代数表达及集合概念等）。二、在概念教学中，培养数学抽象素养的方式数学概念泛指定义、法则、公式、定理等。概念是思维的基本单位。数学是培养思维的学科，因而概念的学习是数学学习中最重要的内容之一。数学概念获得方式学生理解概念的过程实际上是掌握同类事物的共同本质属性的过程。(例如，学习“棱锥”这个概念，就是抓住了：凸多面体、底面是多边形、侧面是有一个公共顶点的三角形等这几个关键属性。）同类事物的关键属性可以由学生从大量的同类事物的不同例证中独立发现，这种概念获得的方式叫做概念形成。当然，也可以用另外一种方式，即用定义的方式直接向学生说明，学生再利用已有认知结构中的有关知识来理解新概念，这种获得概念的方式叫做概念同化。概念形成与概念同化是两种基本的概念获得方式。两种概念获得方式，哪种更有利于培养学生的抽象能力？我所经历的同课异构案例：课题是人民教育出版社必修教材数学5第69-70页“均值不等式”一课。教材主要内容依次为：均值不等式的代数表达、几何意义，均值不等式的应用（主要是代数应用）。方案一：按照教材顺序。⑴先给出算术平均数与几何平均数的定义，然后让学生推测二者的大小，并给出证明。⑵当学生用代数方法证明后，老师又引导学生对均值不等式做了几何直观解释。⑶最后运用公式解决实际问题。采用这个方案的王老师在进行到⑵这个环节时出现了困难。开始时，老师没有做任何提示，让学生自己思考，但大部分学生不知用什么图形中的线段表示和，思维受阻。无奈，老师做提示，构造一个以为斜边的直角三角形，受此启发，逐渐有学生做出。但由于此环节占用时间过长，最后运用公式解决实际问题环节草草收场。2baabba方案二：按照教材顺序。⑴先给出算术平均数与几何平均数的定义，然后让学生判断二者的大小，并给出证明。⑵用代数方法证明后，老师将均值不等式的几何直观解释做为课后作业，学生自行研究，明天上课时大家一起交流。⑶运用公式解决实际问题。采用这个方案的张老师吸取了第一节课王老师的经验，不想在几何解释上用时，把课堂绝大部分时间都用在最后一个环节“运用公式解决实际问题上”，课堂上演算了大量的习题。在教学的结尾，还让学生总结了均值不等式的几种常见变形及做题时应注意的问题等。⑵将几何情景代数化。我们在直角三角形图形中得出的代数结论，可以推广到任意正的实数吗？不能，说明理由；若能，请证明。⑶最后运用公式解决实际问题。方案三：改变教材顺序。⑴先设置几何情景，老师在黑板上给出一个以为斜边的直角三角形ABC，CD为斜边的高，且要求用图形，并判断二者的大小。babBDaAD,2baab，中的线段表示采用这个方案的刘老师教学过程非常顺利。第⑴环节，学生在老师构造好的图形中，比较容易地找到直角三角形斜边中线为高为，利用几何直观很容易的判断出二者的大小。第⑵环节中，将特殊图形中得出的结论，推广到任意正的实数的证明，学生利用比较法，顺利完成。老师用比较充裕的时间完成了第⑶部分，运用公式解决实际问题，并做了大量的习题。2baab方案四：改变教材顺序。⑴先设置问题情景，老师将教材中的例题写在黑板上：已知矩形的周长为36m,问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大，最大面积是多少？⑵上述解题过程，蕴含着怎样的不等式.⑶最后运用公式解决实际问题.⑷均值不等式的几何直观解释做为作业课后研究.采用这个方案的李老师教学过程不太顺利。第⑴环节，学生利用二次函数，求出面积最大的最大值。但在第⑵环节中，寻找解题过程中蕴含着的不等式关系，学生迷茫。随后，老师提醒学生写出数学符号表达：设矩形的长、宽分别为x、y(m),由题意得：x+y=18,求s=xy的最大值。然后老师在黑板上画出二次函数图像，引导学生观察面积取得最大值时的条件，提炼出模型：，这个环节用时较长，学生通过一些具体验算才感悟到这个数学模型，但找到后，学生比较兴奋。之后，老师又再将其变形，得到均值不等式，并用比较法证明。第⑶部分，运用公式解决实际问题，只做了简单的练习。2)2(yxxy下午研讨时，每位上课教师先对自己的授课做了教学设计说明和教学反思，然后教师间互评。老师们的参与度非常高，讨论十分热烈。老师们这样说：用方案一、方案四的方法上课，课时是远远不够的；课堂上要让所有的学生都能探索、形成数学概念或建立数学模型是不现实的。这样的教学对于数学基础好的学生效果一定好，但对接受能力差一些的学生探索没有结果，课堂又没做练习，怎么行？参与讨论的教师们特别想知道我对这四种教学设计的看法。我首先引领老师们学习了《普通高中数学课程标准》对本节课的要求：①探索并了解均值不等式的证明过程；②会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题，一般建议本节课教学2课时。我的观点如下。观点一：教师们的授课过程表面上的顺利与否，取决于教师的教学目标。如果教师把本节课的教学目标设定为：了解均值不等式的证明过程，会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题。如方案二与方案三的教学设计，就是合理的，在概念教学中采用了概念同化方式，课堂上强调了一些公式变形的技巧和运用不等式要注意的细节，对于学生后面的问题解决是有帮助的。但是，后续课必须安排“均值不等式几何直观解释探究”的时间，这个探索的过程不能缺失。我们知道，抽象能力的培养需要体验、领悟，才能逐步形成数学抽象思维的习惯，碰到问题才能自觉地“往这方面想”。当然了，在讲均值不等式的几何意义时，本课中的几何图形载体不仅可以是直角三角形，也可以是任意三角形，还可以是梯型。对于数学素养较好的学生，可以课后让学生们展开讨论研究，对学生数学抽象思维的培养大有益处。如果教师把教学目标设定为：探索并了解均值不等式的证明过程，会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题。如方案一与方案四的教学设计，是非常好的，采用了概念形成的方式。由于问题具有开放性，必然有探索的过程，多花些时间很正常，时间花在发展学生思维上，值得。观点二：数学概念课的教学设计，一般有以下几种方式：①提供实例，对实例所反映的特征在观察比较的基础上进行概括；②从数学内部矛盾出发，设置认知冲突，让学生感受到概念产生的必要性，参与概念的定义过程；③从数学知识、方法之间的联系入手；④体现数学概念系统的建立过程。前两种教学设计属于概念形成方式，后两种教学设计是概念同化方式。老师们在教学设计中都考虑到以上两种或更多的方式，这是非常难得的，这样才能兼顾到数学内容的整体性。两种概念获得方式相互促进关系通常，由于数学学习是掌握前人已经发现的数学知识，把前人的数学活动经验转变成自己的经验，使其成为自己解决问题的工具的过程，因此概念同化是学生获得数学概念的最基本的方式。概念同化方式获得概念，实际上是用演绎方式获得概念的一种形式。因为它是从抽象定义出发来学习概念的。但是，由于学生的认知结构处于发展过程之中，他们的数学认知结构比较简单、数学知识比较贫乏而具体，在学习新的数学知识时，作为“固着点”的已有知识往往很少或者不具备，这时他们就只能采取概念形成的方式来学习。在数学概念学习中，两种方式不能孤立使用，如果仅用概念形成方式学习，显然不符合学校学习的经济性原则；而仅仅用概念同化方式学习，由于数学概念的高度抽象性，学生比较难以把握概念背后的丰富内容，难以理解概念的关键属性，因此应该把两者结合起来使用。数学教育的终极目标：会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。数学眼光即数学抽象、直观想象，其特征为数学的一般性；数学思维即逻辑推理、数学运算，其特征为数学的严谨性；数学语言即数学模型、数据分析，其特征为数学应用的广泛性。