可再生资源开发利用全

1可再生资源开发与管理陈兰荪(中国科学院数学所；大连理工大学数学系)§1引言首先考虑开放式资源开发与管理两个重要的概念（1）最大持续产量MSY永远收获而不改变种群剩余产量种群大，产量低种群k种群小，产量高种群0存在一个产量MSY使永久产生，种群剩余产量不变（2）最优持续产量OSY考虑经济因素：OSY：获剩最多而永远收获不改变群体剩余量为了实现OSY我们要研究最优资源收获策略先研究开发利润与开发成本之间的关系当然这个关系在市场与社会的调控下产生绘成下图：产量经济学利润种群密度种群动力学2产品价格细分则与年龄结构有关，年龄越大，价值越高。（3）脉冲式捕捞在远海捕鱼作业常发生脉冲式捕捞①船队加工船，捕捞船经常往返成本大②到达海域就尽所能及地捕捞③捕捞到剩余产量太少时会增加捕捞成本，因此不会捕捞到种群灭绝以下我们要把以上叙述以及图表中所列。用数学模型以及数学方法来分析。种群密度越小，开发成本越大降低成本种群密度开发利润季节性因素开发成本社会成本环境影响产品价格同类产品开发产量竞争生产者出现产品价格突然变化（政策因素）年龄结构包括3§2单种群模型)()(thxFdtdx（2.1）相对增长率xxFxr/)()(（a）纯补偿模型：当)(xr单减（b）退偿模型：存在*k，)(xr增加，当*0kx时；)(xr减少，当kxk*时。（c）临界退偿模型（稀疏效应）：存在0k，0)(xF，当00kx时。退偿也称Allee效应简单情况：Exth)([恒定努力量E模型]则ExxFdtdx)((2.2)若（2.2）是纯补偿模型，则存在唯一平衡点Ex，持续产量)(EEExFExy产量努力量曲线)(EExFy。kFr(a)*kk(b)0kk(c)4（1）Logistic模型比例开发（A）恒定努力量)()1(xfExkxrxdtdx正平衡态)1(rEkxE持续产量)1(rEkEExyEE最大持续产量MSYkrxEE41*rE21*)0('Ey（产量——努力量曲线）yr/2EMSY5（B）脉冲收获（周期脉冲）ktExtxtxxkktkxrxdtdx当当)()(3,2,1)1(（2.4）对于每一个确定捕捞周期和恒定努力量E，脉冲微分方程（2.4）存在唯一周期解)(*tx，即)()(**txtx，初值0*)0(xx是和E的函数),(0Ex。周期解),,(*Etx是全局渐近稳定的。持续产量),,(*EtExyE对于固定的捕捞周期有最大持续产量MSY),,(***EtxE。问题：对于固定的努力量0E我们可以选择一个捕捞周期*得到最大持续产量：MSY=),,(*0*0EtxE。xtk6（C）周期开发，周期Logistic模型)()())(1)((txtEtkxtrdtdx（2.5）)(tr，)(tk，)(tE为周期函数。[范猛已完]证明存在唯一全局渐近稳定正周期解。李海龙推广到一般模型)()(),(txtExtfdtdx(2.6)与前一样对于（2.5）(2.6)可以得到持续产量以及MSY。(D)周期脉冲开发，周期Logistic模型NktxbtxNktttxtatrtxdtdxkkkk)()()]()()()[(（2.6）)()(trtr)()(tata脉冲周期kkttT1两种情况①T②T在系数周期),0(内有n个脉冲，即knkttknkbbNk两种情况有结论：若1110)(1drknkeb(n为整数),则系统有唯一正周期解且是全局渐近稳定的，同样可求得持续产量与MSY。7(E)脉冲周期与时变周期不同的情况nT记T结论：若=有理数，且1)11(0)(1drknkeb，则系统（2.6）由唯一全局渐近稳定正周期周期解若1，则（2.6）一切解)(tx有0)(limtxt。问题：可以知道当=无理数（2.6）一切解Mtx)(且不存在周期解，计算表明有拟周期解。（F）种群增长的时滞效应对收获生产的影响Exktxrxdtdx))(1(（2.7）由于系统（2.7）与系统（2.3）平衡点计算相同，所以正平衡态)1(rEkxE持续产量)1(rEkEExyEEMSY=krxEE41*8（G）时滞效应模型的脉冲收获Yu.J.STangX.H.Bll.Londen.Math.Soc.34(2002)no.3319-328321)()(0)](1)[()(，，ktxbtxtttxtxtrdtdxkkkk(2.8)),0)(,0(Cr0kt单增10kb初始1)()(ttx)0,(t结论：①若01kkb且1)(11ttkstsdsbsrRk时很大的t，则（2.8）一切解0，当t②若01kkb，0)(dssr且23)(11ttkstsdsbsrRk对一切0t，则（2.8）一切解0，当t。问题：当01kkb且R23时，解如何？当01kkb且1R时，解如何？9(2)Logistic模型常数开发(A)最大承受生产Fhxkxkrdtdx)(（2.9）一般情况有两个平衡态)4(2121rhkkkxh)4(2122rhkkkxhhx2稳定，hx1不稳定。这时有))((21hhxxxxkrdtdx。当04*2rkhk时，hx1与hx2重合。当*hh时，0F。4*rkh称最大承受生产，这时hhhxxx21。*hhFxh=01x2xxt10（B）脉冲收获的最大承受生产kktthxkttxkxkrdtdx3,2,1)(（2.10）设kktt1，对于给定的h和与（2.9）有类似的结论。一般情况下(2.10)存在两个周期解),,(1htx，),,(2htx。也有类似的结论：对于给定的存在*h使),,(),,(),,(*2*1*htxhtxhtx，)(*h即为最大承受生产。记),,(1htx，),,(2htx，),,(*htx的初值分别为),(10hx，),(20hx，),(*0hx，均为h和的函数。当时0时（脉冲连续化）我们有hxhx110),(hxhx220),(hxhx),(*04*rkh当0h时（收获量减少为零）我们有0),(10hxkhx),(20kxh。xt11（C）脉冲收获的最大持续产量MSY对于模型(2.10)我们要求在时间区间],0[T内获得最大产量。我们假设在],0[T内有n个脉冲设1n，则T，MSY=k；2n，则2T，MSY=)2(2*Th；一般地MSY=)(*nTnh；n，MSY=Trk4。问题：是否对于所有的n存在一个最大的MSY?xtkxt12(D)最优生产方式研究单种群模型0)0()()0(2,1)(xxIxxnitxfdtdxiii当（2.11）有n个脉冲时刻n210对应的脉冲收获量为nIIII321,,要求在时刻],0[T内完成n次脉冲，即Tn并且产量达到要求数量IIIIn21。问题：是否存在一种方式（选择iiI和）使剩余产量达到最大？Angelova:Appl.Anal.69(1998)no.3-4,207-221对于Logistic模型)()(xkxkrxf，以及Gomper模型)ln()(xrrxxf均有结论。（E）离散种群模型的开发)()](11)[()1(nbnxknxnx(2.12))(nb为在时间1n时的收获率，)(nb为周期序列ZhangR.Y.Z:Comput.Math.Appl.39(2000)no1.277-90得到最大承受生产*24)1()(hknb.当*)(hnb时,(2.12)存在两个周期函数解。13§3生物经济学模型（1）几个概念p为产品价格，设p为常数。TR)(EpY努力量E所得到的能持续的“收益总量”。TC总成本，简单地设TC与努力量E成正比，TC=cE。能持续的经济利润CEEpYTCTR)(。生物经济平衡0TCTR，由此可得到*EE。1．当*EE时，E。（赔钱而减少捕鱼者）2．当*EE时，E。（得利润渔民增加）例：Logistic模型)1()(rEkEEY生物经济平衡：0)1(cErEpkETCTR，这时)1(*pkcrE，pcrEkx)1(**，成本—价格比。当pkc时，捕鱼成本高于鱼价格，亏本，E。当pkc时，捕鱼成本低于鱼价格，盈利，E。14（2）种群水平与努力量模型努力量作为一个变量最简单模型)()(cEpxERdtdEExxFdtdx（2.13）R为常数，dtdE与现实经济利润成正比.关于方程(2.13)有结论：1．)(xF为Logistic模型或纯补偿情况，系统有唯一正平衡点且全局渐近稳定。2．)(xF为退偿情况，平衡点不稳定。在模型（2.13）中产品的价格p被视为常数，实际上产品的市场价格常因各种因素而变化，例如：（A）产品价格因季节性需要不同而周期性变化，)(tp是t的周期函数])([)(cExEtpRdtdEExxFdtdx(2.14)1．)(xF为Logistic模型或纯补偿情况，系统有唯一正周期解且是全局稳定的。2．)(xF为退偿情况？chaos?15（B）政策性调价对产量的影响])([)(cExEtpRdtdEExxFdtdxTtpTtRtp2)((2.15)(2．15)解的情况？（C）产品价格依赖于市场上产品数量——物以稀为贵Exp产量越高，产品价格越低当0x时,p。当x时，0p。(i))(xF为Logistic或纯补偿模型?(ii))(xF为退偿，另外若)(t)(t?ptptptpx16（3）最优持续产量OSYOSY：获胜最多而永远收获不改变群体剩余产量OSY=MSY+经济获利最多)()(thxFdtdx收获量)(th依赖于种群水平)(tx和努力量)(tE，记为生产函数),(xEQh。为了数学推理方便一般取为线性形式ExGh)(。一般说来对于固定的努力量当种群水平增加时，收获量是不会减少的，所以)(xG是不减函数。目标函数，记在t时间内的纯经济收入为tR，则thxCptEcxpGtcEphtExRtR))(())(()(),(其中)()(xGcxC为单位收获量的成本。要达到的目标：已贴现后的总收入PV达到最大记0为贴现率，一般说来为利率，税收等。0.0.0))())((()()(62.1)())((),(dtxxFxCpexxFthdtthxCpedtExRePVttt）由（应用极大值原理，可求得最优种群平衡态水平和最优收获努力量E。17例：状态系统dtdx=)()1(tukxrx初值0)0(xx；条件max0xx目标TtdtuJ0)(使得maxJ用极大值原理来解这个问题设)(tp是协态变量，取Hamiltonian函数ukxrxpuppuxH)1(),,(000p协态方程)2(xkkprxHdtdp利用最优条件可以得到奇异极值曲线2kx奇异控制为4rku注：正好是常数开发时最大承受生产4*rkh例2沿海——外海捕鱼模型)(1tx沿海渔场生物量，)(2tx外海渔场生物量一般性的模型22212221112111)()()()(xExxxFdtdxxExxxFdtdx(2.18)求Os