局部改变量的估值问题

第三节局部改变量的估值问题—微分及其运算主要内容：一、微分三、微分在近似计算中的应用二、微分公式和法则200Ax00设边长由变到,xxx002200()()()AAxxAxxxx.)(220xxxxxx0xx0一、微分1、微分概念实例:正方形铁皮受热后面积的改变量2()Axx面积函数0x0xx2)(x()1()2,2).(xx的高阶无穷小当很小时可忽略所以2()().xox,(1)xA的线性函数且为的主要部分，称为线性主部；200()limlim0,xxxxx因为2()x02xxx即的高阶无穷小.)(220xxx()1()2A301,.yxxxy例设函数在点处的改变量为时求函数的改变量3300()yxxx.)()(3332020xxxxx)1()2(23003()()limxxxxx200lim[03()].xxxx2303()()().xxxox线性主部无穷小,,,Axyx其中是与无关的常数为的线性主部是的高阶无穷小(),()yfxxxyyyAxox设函数在点处有增量如果的增量可写为定义即dd().yfxAx于是有d().yyox(),()(,.)yfxxAxyfxxyfx则称函数在点可微并称为在点处的微分记d或d作A()oxx+dyo(Δx)0()lim0xoxx关于定义的几点说明：d是自变量的改变量的线性函数(1);yxd是比高阶无穷小(2)();yyoxx当时d与是等价无穷小(3)0,;Ayy()()1,yAxoxoxyAxAxd当时，d0.1yyxyAxd()yyoxd（）是与无关的常数但与和有关04,();Axfxx当很小时d线性主部(5),().xyy因为()(),yAxoxoxAxxx所以当时，对上式两端取极限得0x0lim.xyAx()fx().yfxx也就是说d下面我们来求的微分yxdd()yfxx函数的可导与可微是等价的.函数的微分d与自变量的微分d的商等于该函数的导数.yxdxd()yfxxxxx()yfxdxdx几何意义:(如图),.yyd当是的纵坐标增量时就是纵坐标对应曲切线的增量线,,.MMNxMP切线当很小时在点的附近可近似曲线段代替段2、微分的几何意义0xxP)(xfy0xMNTdyy)(xo）xyoxd0000limlim()()0.xxxxyfxxx导数与微分的区别000001()(),()(),,,.fxxfxyfxxxxxR、函数在点处的导数是一个定数而微分d是的线性函数它的定义域是实际上它是无穷小()()yfxxyfxxdddx000000002,()()(,()),()()()(,()).fxyfxxfxfxxxyfxxfxxy、从几何意义上来看是曲线在点处切线的斜率而微分是曲线在点处的切线方程在点的纵坐标增量d0xxP)(xfy0xMNTdyy）xyox(),().yfxxyfxy由微分定义可知，只要求出再乘上自变量的微分d，即得函数的微分d二、微分公式和法则()xyfxdd函数的导数自变量的微分1(ln)x例d(sin)xdCd()xd1.xxd()xdcos.xxd()0.Cxdlnxsinx22cos(1).xxxd22[sin(1)]x例dd2[sin(1)]xx1、基本初等函数的微分公式1()0;();Cxxxddd22(sin)cos;(cos)sin;(tan)sec;(cot)csc;xxxxxxxxxxxxdddddddd(sec)sectan;(csc)csccot;xxxxxxxxdddd()ln;();xxxxaaaxxdddeed22221(arcsin);11(arccos);11(arctan);11(arccot).1xxxxxxxxxxxxdddddddd1(log);ln1(ln);axxxaxxxdddd2、函数和、差、积、商的微分法则22()();();;1();uvvuuuvuuvvvvvvuvuvvddddddddddd[()].uxyuxyuxdd();CuCuddyfux[()]三、微分在近似计算中的应用00()()yfxxfx000()()()fxxfxfxx000()()().fxfxfxx因此，如果和都容易计算，那么就可以利用上式来近似计算因为d0()yyfxx331.02.例求的近似值33()1.021.0210.02,0.02,,()10.02.fxxxfxx该题是求函数在点处的值,而是较小的量看作提示与分析所以原问题是求在处的近似值问题:331.02.例求的近似值000()()()fxxfxfxx解设取，30(),1,0.02fxxxx30001.02()()()fxxfxfxx(1)(1)0.02.ff而3(1)11,f3321111(1)(),33xxfxx于是30.021.0211.0067.3(10.02)f2450.02,.1.mtthh例在一新陈代谢实验中，葡萄糖的含量为其中时间的单位为求后葡萄糖量的变化率四、应用因变量关于自变量的导数解2()(50.02)mt250.02t0.04t当时，1()0.0410.04.tm所以后葡萄糖量的变化率为10.04.h21251,3yxxx例在抛物线上取横坐标为的两点，作过这两点的割线.问抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？提示与分析：,.kyyk我们首先要求出割线的斜率，然后根据导数的几何意义表示出抛物线上任一点的切线斜率解方程即可于是经过点、的割线斜率为：1122(,)(,)xyxy解时时11221,1;3,9;xyxy2121yykxx914,31于是经过点、的割线斜率为：1122(,)(,)xyxy2()()2,fxxx242,xx2121yykxx914,31由导数的几何意义得：依题意，所求的点满足：2,4.xy时综上，即为所求.(2,4)21251,3yxxx例在抛物线上取横坐标为的两点，作过这两点的割线.问抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？割线切线610,0.05,?A例半径厘米的金属圆片加热后半径伸长了厘米问面积()增大了多少提示与分析：面积的增加量受热后的面积原来的面积rA2(10)π2(100.05)π所以d0()yyfxx2,10,0.05Arrcmrcm解设，π2()AArrddπ2.cm因此加热后该金属片的面积增大了π2()2rrrrππ2100.05π2()cmπ