平面向量的数量积和坐标运算复习

平面向量的数量积及坐标表示复习（适合高一）教学目的：1奎屯王新敞新疆掌握平面向量的数量积及其几何意义；2奎屯王新敞新疆掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3奎屯王新敞新疆了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4奎屯王新敞新疆掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用讲解概念：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的奎屯王新敞新疆范围0≤≤180特别注意的是三角形中向量的夹角2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，（０≤θ≤π）奎屯王新敞新疆并规定0与任何向量的数量积为0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积的区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分奎屯王新敞新疆符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.C（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0奎屯王新敞新疆因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c奎屯王新敞新疆但是ab=bca=c如右图：ab=|a||b|cos=|b||OA|，bc=|b||c|cos=|b||OA|ab=bc但ac(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影奎屯王新敞新疆投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1ea=ae=|a|cos2abab=0重点！3当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或aaa||重点！4cos=||||baba重点！5|ab|≤|a||b|6.数量积的坐标表示：⑴向量的模（模长公式）设),(yxa，则有222yxa或22||yxa⑵平面内两点间的距离公式设),(11yxA，),(22yxB，则),(1212yyxxAB221221)()(||yyxxAB⑶两向量垂直的坐标表示的判断条件设),(11yxa，),(22yxb，则02121yyxxba⑷两向量的夹角的坐标表示公式设非零向量),(11yxa，),(22yxb，为a与b的夹角，则222221212121||||cosyxyxyyxxbaba7.平面向量数量积的运算律①交换律：ab=ba②数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)③分配律：(a+b)c=ac+bc三、讲解范例：例1判断正误（易错点）①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；④若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑤ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑥对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑦ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２奎屯王新敞新疆⑧22aa总结：实数中的好多结论在向量中是不成立的。如：⑴若0ba，则0a或0b；⑵若bcba，且0b，则ca；⑶若2bba，则ba；⑷22bababa；⑸222)(baba⑹若ba，则cbca练习：1.下列命题中真命题是（）(A)000baba或(B)ababa上的投影为在//(C)2bababa(D)bacbca2.下面给出的关系式中正确的个数是（）①00a②abba③22aa④)()(cbacba⑤baba(A)0(B)1(C)2(D)33.下列说法中正确的序号是（）①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底；②两个非零向量平行，则他们所在直线平行；③零向量不能作为基底中的向量；④两个单位向量的数量积等于零。(A)①③(B)②④(C)③(D)②③4.判断下列各题是否正确（1）若0a，则对任意向量b，有0ba（2）若0a，则对任意非零量b，有0ba（3）若0a，且0ba，则0b（4）若0ba，则0a或0b（5）对任意向量a有22aa（6）若0a，且caba，则cb例2奎屯王新敞新疆（易错点）已知△ABC中，ａ＝５，ｂ＝８，Ｃ＝６０°，求BC·CA.总结：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例3（数量积公式的应用）已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.总结：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.例4（数量积的坐标表示的应用、模长公式的应用、向量夹角公式）已知)3,1(a，)1,3(b，求ba，||a，||b，a与b的夹角.练习：1.若)6,5(),3,4(ba，则baa4||322.若)3,(),1,3(xba，且ba，则实数x3.若)2,4(a，则与a垂直的单位向量的坐标是4.已知向量)2,1(,3ba，且ba，则a的坐标是___________例5（投影的概念）若)7,4(),3,2(ba，求a在b方向上的投影例6（数量积的性质的应用）若0,2,122ababa，求ba与的夹角练习：1.若1,2,abcab,且ca,则向量a与向量b的夹角为()A.030B.060C.0120D.01502.已知(1,2),(4,2)ab,)aab与(夹角为,则cos.例7（模与数量积的关系）已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121eeeebeea其中求（1）baba;的值；（2）a与b的夹角练习：1.已知向量,ab满足6,4ab,且ab与的夹角为060,求3abab和.2.已知2,3,7abab,求向量a与向量b的夹角.3.已知,ab是两个非零向量,同时满足abab,求aab与的夹角.4.已知向量(2,2),(5,)abk,若ab不超过5,则k的取值范围()A.[4,6]B.[6,4]C.[6,2]D.[2,6]5.已知ab与的夹角为0120,3a,13ab,则b等于()A5B.4C.3D.1例8平面向量数量积的综合应用1.已知向量(sin,1),(1,cos),22ab.(1)若,ab求;(2)求ab的最大值.2．已知2a，b=3，a和b的夹角为45，求当向量ba与ba的夹角为锐角时，的取值范围w.w.w.k.s.5.u.c.o.m