利用函数的单调性证明不等式

利用函数的单调性证明不等式单调函数是一个重要的函数类,函数的单调性应用广泛,可利用它解方程、求最值、证明等式与不等式、求取值范围等,并且可使许多问题的求解简单明快.下面主要讨论单调性在不等式中的应用.定义3.1[8]设函数fx的定义域为,D区间,ID如果对于区间I上任意两点1x及2x,当12xx时,恒有12fxfx,则称函数fx在区间I上是单调增加的;如果对于区间I上任意两点1x及2x，当12xx时,恒有12fxfx,则称函数fx在区间I上是单调减少的.定理3.1[8]设函数yfx在,ab上连续,在,ab内可导.如果在,ab内0fx,那么函数yfx在,ab上单调增加;如果在,ab内0fx,那么函数yfx在,ab上单调减少.利用函数的单调性解决不等式证明问题,在高等数学中是经常使用的方法,下面通过几个例子来说明.例3.１[3]当02x时,证明:2sin1xx.证明构造函数sin()xfxx,则'22cossincos()(tan).xxxxfxxxxx因为02x时,tan0xx,即'()0fx.所以由定义知()fx在(0,)2内为严格单调减函数.002lim()()lim()xxfxfxfx.而0lim()1xfx,022lim()xfx,故sin21xx.例3.2[2]当0x时,证明:2ln12xxxx.证明构造函数()ln(1)fxxx,则'1()111xfxxx,当0x时,'()0fx.所以定义知()fx在0,内为严格单调减函数.故0x时0()lim()(0)0xfxfxf,即ln(1)0,ln(1)xxxx.再构造函数2()ln(1)2xgxxx,则2'1()111xgxxxx.当0x时'()0gx,所以由有限增量公式知()gx在0x时为严格单调减函数,故当0x时,0()lim()(0)0xgxgxg.即22ln(1)0,ln(1)22xxxxxx.综上所证,当0x时2ln12xxxx.