高等数学第三章：Taylor公式

几个初等函数的Maclaurin公式泰勒(Taylor)（英）1685-1731近似计算与误差估计其它应用§3.3Taylor公式Taylor中值定理的建立Taylor公式的数学思想12!)12()1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxyxsin例：用多项式逼近函数42246420246Taylor公式的数学思想---局部逼近.12!)12()1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin泰勒多项式逼近6420246!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy多项式函数特点(1)易计算函数值;(2)导数与积分仍为多项式;(3)多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及导数值确定.而其系数用怎样的多项式去逼近给定的函数误差又如何呢用简单的、熟悉的函数来近似代替复杂函数.—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算Taylor公式的建立)(xf,)(0存在若xfxxx0记xxfxfxxf)()()(000回想微分附近有在0x))(()()(000xxxfxfxf,0时当xx.)(0高阶的无穷小其误差是比xx一次多项式))(()(000xxxfxf)(0xxoxy1xeyxy)1ln(xy（如下图）如,||很小时当x,1xex.)1ln(xxxyOxyO以直代曲需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?问题(1)系数怎么定?(2)误差(如何估计)表达式是什么?不足1.精确度不高；2.误差不能定量的估计.))(()(000xxxfxf)(xf希望附近在0x用适当的高次多项式nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010)(xf一次多项式,)1,,2,1,0())(U()(0nkxCxfk设,)(0)(则在该邻域内有存在xfn))((o)(!)()(0000)(nknkkxxxxkxfxf))(()(000xxxfxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)())o((0nxx一.带皮亚诺余项的泰勒公式该公式称为n阶带皮亚诺余项的泰勒公式)(o!)0()(0)(nknkkxxkfxfxff)0()0(2!2)0(xfnnxnf!)0()()(onx带皮亚诺余项的麦克劳林公式.00时的泰勒公式就是x带皮亚诺余项的泰勒公式的产生则内可微在设,)(U)(0xxf)(o)()()(00xxxfxfxf))((o))(()()(0000xxxxxfxfxf即如果我们希望提高精度,应怎么办?))(()()(000xxxfxfxf令))((o)(20202xxxxa?2a0xxx由极限知识可知,此时应有20202000)()())(()()(lim00xxxxaxxxfxfxfxx我们先假定以下运算均成立,计算完后再看需要补充什么条件.运用罗必达法则,得)(2)(2)()(lim000200xxxxaxfxfxx200)(2)()(lim0axxxfxfxx,)(0则存在如果xf2)(02xfa则存在且内有定义在当,)(,)(U)(00xfxxf))(()()(000xxxfxfxf))((o)(2)(20200xxxxxf该公式称为带皮亚诺余项的二阶泰勒公式..))((o20称为二阶皮亚诺余项式中xx))(()()(000xxxfxfxf))((o)(2)(20200xxxxxf))o(()(30303xxxxa?3a30303200000)()()(2)())(()()(lim0xxxxaxxxfxxxfxfxfxx0运用罗必达法则计算极限.20203000)(3)(3))(()()(lim00xxxxaxxxfxfxfxx)(23)(23)()(lim00300xxxxaxfxfxx300)(23)()(lim0axxxfxfxx.!3)(,)(030xfaxf则存在若200000)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxf))((o)(!3)(30300xxxxxf该公式称为带皮亚诺余项的三阶泰勒公式.仿照以上的做法,继续进行下去,即可得到一般的带皮亚诺余项的n阶泰勒公式.))((o)(!)()(0000)(nknkkxxxxkxfxf))(()(000xxxfxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)())o((0nxx带皮亚诺余项的n阶泰勒公式,),,2,1,0())(U()(0nkxCxfk设,)()1(存在xfn则在该邻域内有)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk)(!)1()()(10)1(nnnxxnfxR其中),(0之间在xx.阶拉格朗日余项称为n二.带拉格朗日余项的泰勒公式此公式称为n阶带拉格朗日余项的泰勒公式则通常可记,1)(0)(00xxx))(()()(000xxxfxfxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)(1000)1()(!)1())((nnxxnxxxf)10(0xx)(!)0()(0)(xRxkfxfnknkkxff)0()0(2!2)0(xfnnxnf!)0()(1)1(!1)()(nnxnxf带拉格朗日余项的马克劳林公式)10(.00时的泰勒公式就是x带拉格朗日余项的泰勒公式的产生,)(U,)(U)(00xxxxf则内可微在设满足拉格朗日中值上或在)(],[],[00xfxxxx定理条件))(()()(00xxfxfxf.0))((,00xxfxx时则记,))(()(00xxfxR)()()(00xRxfxf称为零阶带拉格朗日余项的泰勒公式.设带拉格朗日余项的一阶泰勒公式为)())(()()(1000xRxxxfxfxf)))o(()((0)(lim01010xxxRxxxRxx,)()()(201xxxxR.)(从而是待定函数其中x)()())(()()(20000xxxxxxfxfxf想一想,如何求出这里的待定函数.不妨设与带皮亚诺余项的一阶泰勒公式比较,此时应有,)())(()()()(20000xxxxxfxfxfx由于),)(()()()(,000xxxfxfxfxF令如果,)()(20xxxG;0)(,0)(00xGxF则,0)()()(000xfxfxF,0)(2)(000xxxG,)(,)(,)(,)(满足柯西中值定理条件假设xGxFxGxF)()()()()()()()()(1100GFxGxGxFxFxGxFx则!2)()()()()()()(0101fGFxGGxFF20000)(!2)())(()()(xxfxxxfxfxf故),(0之间在xx.)(!2)()(201为一阶拉格朗日余项xxfxR))(()()()(000xxxfxfxfxF20)()(xxxG,)()(!2)())(()()()(302000001xxxxxfxxxfxfxfx,令如果,)()(301xxxG;0)(,0)(0101xGxF则;0)(,0)(0101xGxF,0)(,0)(0101xGxF满足柯西假设)(),(),(,)(,)(,)(111111xGxFxGxFxGxF由于,)(!2)())(()()()(2000001xxxfxxxfxfxfxF,中值定理条件)()()()()()()()()(1111011011111GFxGxGxFxFxGxFx则)()()()()()(1101110111GFxGGxFF200000)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxf故),(0之间在xx.)(!3)()(302为二阶拉格朗日余项xxfxR,!3)()()()()()()(1101110111fGFxGGxFF30)(!3)(xxf,)1,,2,1,0())(U()(0nkxCxfk设,)(0)(则在该邻域内有存在xfn))((o)(!)()(0000)(nknkkxxxxkxfxf))(()(000xxxfxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)())o((0nxx.公式阶带皮亚诺余项的泰勒该公式称为n带皮亚诺余项的泰勒公式,),,2,1,0())(U()(0nkxCxfk设,)()1(存在xfn则在该邻域内有)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk)(!)1()()(10)1(nnnxxnfxR其中),(0之间在xx.阶拉格朗日余项称为n带拉格朗日余项的泰勒公式.勒公式阶带拉格朗日余项的泰该公式称为n)(xf)(0xf))((00xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx带拉格朗日余项的泰勒公式特别地:(1)当n=0时,泰勒公式变为拉格朗日中值定理)(xf)(0xf))((0xxf(2)当n=1时,泰勒公式变为)(xf)(0xf))((00xxxf20)(!2)(xxf可见)0(之间与在xx)0(之间与在xx称为麦克劳林（Maclaurin）公式.,)10(,00xx则有)0(fxf)0(2!2)0(xfnnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0xf))((00xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0(,)()1(Mxfn则有误差估计式1!)1()(nnxnMxR2!2)0(xfnnxnf!)0()(若在公式成立的区间上由此得近似公式三、几个初等函数的麦克劳林公式,)()(xkexf),2,1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)sin(x)()(xfkxsinx!33x!55x!)12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012mk,)1(1m),2,1(m1)1(m)10(12mx!)12(m!)2(2mxm类似可得xcos1!22x!44x)(12xRmm)1(2212!)22(2)22(cos