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第1页（共14页）北京市初二数学竞赛试卷一、选择题（每题5分，共25分）1．（5分）满足x2﹣4y2＝2011的整数对（x，y）的组数是（）A．0B．1C．2D．32．（5分）右图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字构成规律，请在图中第八行所有○中填好应填的数字，则这前8行36个数的和等于（）A．257B．256C．255D．2543．（5分）四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝80°，AD＝AB＝BC，CH⊥AB于H．连接DH，则∠CHD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°4．（5分）化简的结果是（）A．1B．C．D．5．（5分）如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）A．B．C．D．二、填空题（每题7分，共35分）6．（7分）已知a，b，c是非零有理数，且满足，则第2页（共14页）等于．7．（7分）已知AD是△ABC的中线，∠ABC＝30°，∠ADC＝45°，则∠ACB＝度．8．（7分）关于x、y的方程的正整数解（x，y）共有组．9．（7分）两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如右图，重合的顶点记作A，顶点C在另一张纸的分隔线上，若，则AB的长是．10．（7分）连续的n个自然数，在每个数写成标准的质因数乘积分解式后，每个质因数都是奇数次幂，这样的n个连续的自然数称为一个“连n奇异组”，如n＝3时，22＝21×111，23＝231，24＝23×31，则22，23，24就是一个“连3奇异组”．那么“连n奇异组”中n的最大可能值是．三、（满分10分）11．（10分）在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，P为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点，求证：AB＝PC．四、（满分15分）12．（15分）关于m和n的方程5m2﹣6mn+7n2＝2011是否存在整数解？如果存在，请写出一组解来；如果不存在，请说明理由．五、（满分15分）13．（15分）如图，矩形ABCD是一个长为1000米、宽为600米的货场，A、D是入口．现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l．（1）求l的最小值．（2）请指出当l取最小值时，收费站P和发货站台H的几何位置．第3页（共14页）第4页（共14页）北京市初二数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共25分）1．（5分）满足x2﹣4y2＝2011的整数对（x，y）的组数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】由平方差公式可知x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），（x+2y）与（x﹣2y）同为奇数或者偶数，将2011分为两个奇数的积，分别解方程组即可．【解答】解：∵2011＝1×2011＝（﹣1）×（﹣2011），∴（x+2y），（x﹣2y）分别可取下列数对（1，2011），（2011，1），（﹣1，﹣2011），（﹣2011，﹣1），∴，解得：不合题意舍去，∴，解得：不合题意舍去，∴，解得：不合题意舍去，∴，解得：不合题意舍去，由此可得方程有0组整数解．故选：A．【点评】此题考查了平方差公式的实际运用，应明确两整数之和与两整数之积的奇偶性相同．2．（5分）右图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字构成规律，请在图中第八行所有○中填好应填的数字，则这前8行36个数的和等于（）第5页（共14页）A．257B．256C．255D．254【分析】根据杨辉三角中的已知数据，易发现：每一行的第一个数和最后一个数都是1，之间的数总是上一行对应的两个数的和，据此求解．【解答】解：通过观察得到：每一行的第一个数和最后一个数都是1，之间的数总是上一行对应的两个数的和，1+6＝7，6+15＝21，15+20＝35，所以图中第八行所有○中填好应填的数字分别是，1，7，21，35，35，21，7，1，通过观察得到：第一行为和为1．第二行为2，第三行为4，…，每行都是前一行的2倍，所以这前8行36个数的和为：1+2+4+8+16+32+64+128＝255．故选：C．【点评】此题主要是熟悉杨辉三角的规律：每一行的第一个数和最后一个数都是1，之间的数总是上一行对应的两个数的和．通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．3．（5分）四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝80°，AD＝AB＝BC，CH⊥AB于H．连接DH，则∠CHD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】首先作出图形，过点D作DE平行于AB交BC于点E，连接DH，根据四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，证明四边形ABED是菱形，即可得到DE＝EC，再根据题干条件得到∠EDC＝∠ECD，最后根据AD＝AB＝BC，可得点E是BC的中点，得到DE平分CH，又∵DE平行于AB，所以DE垂直于CH，也就是DE垂直平分CH，于是得到∠CHD＝∠DCH＝40°．【解答】解：作出图形，过点D作DE平行于AB交BC于点E，∵四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∴四边形ABED是菱形，∴AB＝BE，第6页（共14页）∵AD＝AB＝BC∴DE＝EC，∵∠ABC＝80°，∴∠DEC＝80°，∴∠EDC＝∠ECD＝＝50°，∵CH⊥AB于H，∴∠BCH＝10°，从而得到∠DCH＝40°，根据AD＝AB＝BC，可得点E是BC的中点，∴DE平分CH，又∵DE平行于AB，所以DE垂直于CH，也就是DE垂直平分CH，∴∠CHD＝∠DCH＝40°．故选：C．【点评】本题主要考查平行四边形和等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边中线的知识点，解答本题的关键是求出DE＝CE，此题难度一般．4．（5分）化简的结果是（）A．1B．C．D．【分析】首先对每个加数进行去分母化简，即可看出他们都是同分母，然后进行运算即可．【解答】解：原式＝，＝，＝．第7页（共14页）故选：B．【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，关键在于通过化简每一项，找到规律．5．（5分）如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）A．B．C．D．【分析】因为题目没有确定正方形EFGH的位置，所以我们可以将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，重新作出图形，这样有利于我们解题，过点M作MO⊥ED于O，则可得出OM是梯形FEDC的中位线，从而可求出ON、OM，然后在RT△MON中利用勾股定理可求出MN．【解答】解：如图，将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，∴EO＝OD＝2，MO＝（EF+CD）＝2．∵点N、M分别是AD、FC的中点，∴AN＝ND＝，∴ON＝OD﹣ND＝2﹣＝．在RT△MON中，MN2＝MO2+ON2，即MN＝＝．故选：B．【点评】本题考查了梯形的中位线定理、正方形的性质及勾股定理的知识，属于综合性题目，对待这样既有动态因素又不确定位置的题目，一定要将位置特殊化，这样不影响第8页（共14页）结果且解题过程简单，同学们要学会在以后的解题中利用这种思想．二、填空题（每题7分，共35分）6．（7分）已知a，b，c是非零有理数，且满足，则等于﹣．【分析】先在等式两边同乘非零数a，得到a2b2＝c﹣ab，移项得出a2b2﹣c＝﹣ab，c﹣a2b2＝ab．再将得到的三个等式代入所求代数式，然后化简，即可得出结果．【解答】解：∵，∴a2b2＝c﹣ab，a2b2﹣c＝﹣ab，c﹣a2b2＝ab．∴+﹣＝（）2+﹣＝（）2+＝（）2+＝﹣＝﹣，＝＝＝，＝﹣÷÷＝﹣••＝﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了分式的化简求值，属于竞赛题型，难度较大．将已知等式变形是关键，将所求代数式分项组合使之能够应用已知条件是难点．7．（7分）已知AD是△ABC的中线，∠ABC＝30°，∠ADC＝45°，则∠ACB＝105度．【分析】设AE＝x，过A作AE⊥BC于E，根据三角形内角和定理求出∠DAE＝45°，求出DE、BE、BD、DC、CE的长，根据锐角三角函数求出tan∠ACB即可．【解答】解：设AE＝x，过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，∵AE⊥BC，∴∠AED＝∠AEB＝90°，∵∠ADC＝45°，第9页（共14页）∴∠DAE＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠ADE，∴AE＝DE＝x，∵∠B＝30°，∴AB＝2x，由勾股定理得：BE＝x，∴BD＝DC＝x﹣x，∴CE＝x﹣（x﹣x）＝（2﹣）x，∵tan∠ACE＝＝＝2+，∵tan75°＝tan（45°+30°）＝＝2+∴∠ACE＝75°，则∠ACB＝180°﹣75°＝105°．故答案为：105°．【点评】本题主要考查对解直角三角形，三角形的内角和定理，勾股定理，垂线，等腰三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能用x表示出一些线段的长度是解此题的关键．8．（7分）关于x、y的方程的正整数解（x，y）共有12组．【分析】首先将方程的变形为（x﹣2011）（y﹣2011）＝2011×2012，又由2011是质数，2012＝2×2×503与x，y是正整数，即可得x﹣2011＝2011，y﹣2011＝2012或x﹣2011＝2012，y﹣2011＝2011或x﹣2011＝4022，y﹣2011＝1006或x﹣2011＝1006，y﹣2011＝4022或x﹣2011＝8044，y﹣2011＝503或x﹣2011＝503，y﹣2011＝8044或x﹣2011＝1，y﹣2011＝4046132或x﹣2011＝4046132，y﹣2011＝1，x﹣2011＝2，y﹣2011＝2011×1006，或x﹣2011＝4，y﹣2011＝503×2011或y﹣2011＝2，x﹣2011＝2011×1006，或y﹣2011＝4，x﹣2011＝503×2011继而求得答案．【解答】解：∵，第10页（共14页）∴2011x+2011y+2011＝xy，∴xy﹣2011x﹣2011y＝2011，∴xy﹣2011x﹣2011y+20112＝2011+20112，∴（x﹣2011）（y﹣2011）＝2011×2012，∵2011是质数，2012＝2×2×503，又∵x，y是正整数，∴x﹣2011＝2011，y﹣2011＝2012或x﹣2011＝2012，y﹣2011＝2011或x﹣2011＝4022，y﹣2011＝1006或x﹣2011＝1006，y﹣2011＝4022或x﹣2011＝8044，y﹣2011＝503或x﹣2011＝503，y﹣2011＝8044或x﹣2011＝1，y﹣2011＝4046132或x﹣2011＝4046132，y﹣2011＝1，或x﹣2011＝2，y﹣2011＝2011×1006，或x﹣2011＝4，y﹣2011＝503×2011或y﹣2011＝2，x﹣2011＝2011×1006，或y﹣2011＝4，x﹣2011＝503×2011∴x＝4022，y＝4023或x＝4023，y＝4022或x＝6033，y＝3017或x＝3017，y＝6033或x＝10055，y＝2514或x＝2514，y＝10055或x＝2012，y＝4048143或x＝4048143，y＝2012，或x＝2013，y＝2025077，或x＝2025077，y＝2013，或x＝2015，y＝1013544或y＝2015，x＝1013544∴关于x、y的方程的正整数解（x，y）共有12组．故答案为：12．【点评】此题考查了非一次不定方程的知识．解此题关键是将方程的变形为（x﹣2011）（y﹣2011）＝2011×2012，然后由2011是质数，2012＝2×2×503与x，y是正整数分析求解．9．（7分）两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如右图，重合的顶点记作A，顶点C在另一张纸的分隔线上，若，则AB的长是7．【分析】设每个小矩形的宽为x，则A