【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)11.2排列与组合课件 理 新人教B版

第二节排列与组合三年9考高考指数:★★★1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的应用是考查重点；2.常与其他知识交汇命题，考查分类讨论思想；3.题型以选择题和填空题为主，在解答题中和概率相结合进行考查.1.排列与排列数公式(1)排列与排列数排列排列数所有不同排列的个数按照一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素(2)排列数公式=_____________________=______(3)排列数的性质①=____;②0!=____.1n!n(n-1)(n-2)…(n-m+1)n!.nm!mnAnnA【即时应用】(1)思考：排列与排列数有什么区别？提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数.(2)设x,m∈N+，且m＜19＜x,则(x-m)(x-m-1)…(x-19)用排列符号可表示为______.【解析】由排列数的记法知，下标是“连乘数”最大数x-m，上标是“连乘数”的个数，即最大数为x-m，“连乘数”的个数为(x-m)-(x-19)+1=20-m.答案：20mxmAnmA(3)从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有_____种.【解析】从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有(种).答案：1863374AA186(4)一条铁路原有m个车站，为了适应客运需求新增加了2个车站，则客运车票增加了58种，那么原有车站_____个.【解析】根据题意得：=58,即(m+2)(m+1)-m(m-1)=58,即m=14.答案：1422m2mAA2.组合与组合数公式(1)组合与组合数组合组合数所有不同组合的个数并成一组从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素(2)组合数公式=_______________________=______________(3)组合数的性质①Cn0=___;②Cnm=______;③Cnm+Cnm-1=______.mmnnmmACAnn1n2nm1m!n!.m!nm!1Cnn-mCn+1m(1)若C202x-7=C20x,则x=_____.(2)某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门课程由于上课时间相同，所以至多只能选一门.学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是______.(3)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为_______.【即时应用】【解析】(1)由2x-7=x或2x-7+x=20，得x=7或x=9.(2)分两类：第一类A、B、C三门课程都不选，有C73=35种方案；第二类A、B、C三门课程中选一门，剩余7门课程中选两门，有C31C72=63种方案.故共有35+63=98种方案.(3)方法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C21·C43+C22·C42=2×4+1×6=14.方法二：从4男2女中选4人共有C64种选法，4名都是男生的选法有C44种，故至少有1名女生的选派方案种数为C64-C44=15-1=14.答案：(1)7或9(2)98(3)14排列数、组合数公式的应用【方法点睛】排列数、组合数公式的特点及适用范围(1)排列数公式右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前面那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数.公式Anm=主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证；n!nm!(2)组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，乘积形式分母为m！，分子左边第一个因数为n,后面每个因数都比它前面那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数，多用于数字计算.阶乘形式多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证.【例1】(1)组合数Cnr(n＞r≥1,n、r∈N+)恒等于()(A)Cn-1r-1(B)(n+1)(r+1)Cn-1r-1(C)nrCn-1r-1(D)Cn-1r-1r1n1nr(2)若A9x=6A9x-2,则x=________.(3)C2n-3n-1+Cn+12n-3=__________.【解题指南】(1)(2)利用排列数和组合数的公式及意义求解，(3)中注意n的取值范围.【规范解答】(1)选D.Cnr==.=n!r!nr!n1!r1!n1r1!［］r1n1nC.rnr(2)原方程即=6×也就是化简得x2-21x+104=0,解得x=8或x=13,又因为2≤x≤9,且x∈N+,所以x=8.答案：89!9x!9!,11x!16,9x!11x10x9x！(3)若C2n-3n-1+Cn+12n-3有意义，当n=2时，有C11+C31=4；当n=3时，有C32+C43=7；当n=4时，有C53+C55=11.答案：4或7或110n12n302n3n1,2n4.nN则解得【反思·感悟】1.在排列数、组合数计算过程中要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解.2.应注意Cnx=Cny⇔x=y或x+y=n两种情况.排列问题的应用【方法点睛】解决排列类应用题的主要方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法:对相邻问题可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法:对不相邻问题可先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直排处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列.【例2】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须相邻；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.【解题指南】(1)无限制条件的排列问题直接应用公式；(2)先排前排再排后排；(3)“在”与“不在”的问题，采用“优先法”；(4)(5)(6)“邻”与“不邻”的问题，采用“捆绑法”或“插空法”.【规范解答】(1)从7个人中选5个人来排列，=7×6×5×4×3=2520种.(2)分两步完成，先选3人排在前排，有种方法，余下4人排在后排，有种方法，故共有种.事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件.57A37A44A3474AA5040(3)(优先法)方法一：甲为特殊元素.先排甲，有5种方法；其余6人有种方法，故共有5×种.方法二：排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从非甲的6个人中2个排列，有种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列，有种方法，共有种.66A66A360026A55A2565AA3600(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有种方法，再将4名女生进行全排列，也有种方法，故共有种.(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方法，故共有种.44A35A44A4444AA57644A4345AA1440(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人全排列，有种方法，故共有种.22A35A33A233253AAA720【反思·感悟】无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可，但要看清是全排列还是选排列问题；有限制条件的排列问题，用直接法或间接法.组合问题的应用【方法点睛】组合问题的常见题型(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”、“至多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【例3】要从12人中选出5人去参加一项活动.(1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法？(2)A，B，C三人都不能入选有多少种不同选法？(3)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法？(4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法？(5)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法？【解题指南】(1)(2)是“在”与“不在”的问题，采用“直接法”；(3)可分两步；(4)(5)是“至少”、“至多”型问题，采用“间接法”.【规范解答】(1)只须从A，B，C之外的9人中选择2人，即有＝36种选法.(2)由A，B，C三人都不能入选只须从余下9人中选择5人，即有种选法.(3)可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有种选法，再从余下的9人中选4人，有种选法，所以共有种选法.29C5499CC12613C49C1439CC378(4)可考虑间接法，从12人中选5人共有种，再减去A，B，C三人都不入选的情况种，共有种选法.(5)可考虑间接法，从12人中选5人共有种，再减去A，B，C三人都入选的情况有种，所以共有种选法.512C59C29C55129CC666512C52129CC756【反思·感悟】1.对“组合问题”恰当地分类计算，是解组合题的常用方法；2.解题时既要灵活选用直接法或间接法，又要常常结合两种计数原理.排列、组合问题的综合应用【方法点睛】解排列组合的应用题应注意的问题(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；(2)深入分析，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏；(3)对限制条件较复杂的排列组合应用题，可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决；(4)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同.【提醒】排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.【例4】(1)(2012·大连模拟)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)(2)(2012·泰安模拟)有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________种．(用数字作答)【解题指南】(1)根据题意，先安排第一棒，再安排最后一棒，由于甲既可以传第一棒，又可以传最后一棒，因此应分类讨论，然后再逐类安排.(2)根据题意，先将数字之和是10的数分类，然后再逐类安排.【规范解答】(1)甲传第一棒，乙传最后一棒，共有种方案；乙传第一棒，甲传最后一棒，共有种方案；丙传第一棒，共有×种方案.由分类加法计数原理，共有++×=96种方案.44A12C44A44A12C44A44A44A(2)取出的4张卡片所标数字之和等于10，共有三种情况：1144，2233，1234；所取卡片是1144的共有种排法；所取卡片是2233的共有种排法；所取卡片是1234，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有排法×+×+×+×+×=1