张量分析——初学者必看

§A-1指标符号附A张量分析例如,三维空间任意一点P在笛卡儿坐标系321,,xxx用指标符号表示为3,2,1,ixinaaaa,,,,321niai,,2,1,nxxxx,,,,321nixi,,2,1,i—指标——取值范围为小于或等于n的所有正整数n—维数数变量指标符号一、求和约定和哑指标§A-1指标符号A张量分析nnxaxaxaS2211njjjniiixaxaS11jjiixaxaS约定求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次指标范围用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维§A-1指标符号3131ijjiijyxA333323321331322322221221311321121111yxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAjiijkjiijkzyxA代表27项的和式一、求和约定和哑指标双重求和二、自由指标333323213123232221211313212111bxAxAxAbxAxAxAbxAxAxAijijbxA筒写为j——哑指标i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同§A-1指标符号三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)013,2,1,01133132232112332211时，有当当当jijijiijjiKronecker-符号定义§A-1指标符号1100010001333231232221131211ij三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)Kronecker-符号定义ijmjimiiiijijAAaaaaa332211§A-1指标符号ijjijijiiiijijijkjikilkljkijjjiiijijijkjikiieeaaaaaaaaa33221133221133直角坐标系的基矢量三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)Ricci符号定义等若有两个或三个指标相若若2,3,1,3,1,2,1,2,3,,2,1,3,1,3,2,3,2,1,,011kjikjieijk011113112111321132213312231123eeeeeeeee§A-1指标符号偶次置换奇次置换1001010100131211232221333231321333222111321321321eekjikjikjikkkjjjiiiijk三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)Ricci符号定义§A-1指标符号333222111321321321rqprqprqpkkkjjjiiipqrijkeekijjkiijkkjiikjjikijkeeeeeeeippipipipi11332211krkqkpjrjqjpiriqippqrijkeejqirjriqjrjqiriqkqrijkeekp321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211kjiijkkjiijkaaaeaaaeaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAitjsjtiskstkijeeKronecker-和Ricci符号的关系§A-2矢量的基本运算321,,eeeiieaeaeaeaa332211在三维空间中,任意矢量都可以表示为三个基矢量的线性组合ai为矢量a在基矢量ei下的分解系数,也称矢量的分量ijjiee一、矢量点积A张量分析§A-2矢量的基本运算一、矢量点积jjiiijjijjiibababaebeaba二、矢量叉积kijkjieeeeA张量分析kjkjkikieeee§A-2矢量的基本运算二、矢量叉积kijktijttjsirrstjjjiiijieeeeeeeeeee321321321A张量分析证明§A-2矢量的基本运算二、矢量叉积jiijkkkjiijkkijkjijijijjiibaeccebaeeebaeebaebeabaA张量分析三、矢量的混合积kjiijkkrrjiijkrrkjiijkcbaecbaeecebaecba§A-2矢量的基本运算ijkrkijrkrijrkjieeeeeeeeRicci符号A张量分析四、矢量的并乘(并矢)§A-2矢量的基本运算jijijjiijjiieebaebeaabebbeaa,333323231313323222221212313121211111eebaeebaeebaeebaeebaeebaeebaeebaeebaabA张量分析并乘§A-3坐标变换与张量的定义cossinsincosyxyyxxcossinsincosyxyyxxA张量分析cossinsincos212211xxxxxxcossinsincos212211xxxxxxiiiiiiiixxxx坐标变换式),cos(),cos(iiiiiiiixxxx§A-3坐标变换与张量的定义A张量分析1001ijiiii互逆、正交矩阵][],[iiiiiiiiiiiieeee基矢量变换式任意向量变换式iiiiiiivvvA张量分析§A-3坐标变换与张量的定义坐标变换系数张量的定义——在坐标系变换时,满足如下变换关系的量称为张量lijkllkkjjiilkji张量的阶——自由指标的数目不变性记法lkjilijkeeeeA张量分析§A-3坐标变换与张量的定义一、加(减)法jijijijijieeTeeBABAT)(二、矢量与张量的点积(点乘)beTaeeTeaTakijjkikjjkii)()(左点乘A张量分析§A-3坐标变换与张量的定义矢量与张量点乘的结果仍为张量,新张量b比原张量T的阶数降低一阶§A-4张量的代数运算ceaTeaTeaeeTaTijijjkikijkkjiij)()(右点乘aTTa对称张量两者才相等A张量分析三、矢量与张量的叉积§A-4张量的代数运算AeeTaeeeeTaeeTeaTakrjkiijrkrijrjkikjjkii)()(左叉乘A张量分析矢量与张量叉乘的结果仍为张量,新张量与原张量同阶BeeaTeeeeaTeaeeTaTrikijjkrrjkrikijkkjiij)()(右叉乘三、矢量与张量的叉积§A-4张量的代数运算A张量分析四、两个张量的点积§A-4张量的代数运算SeeeeBAeeeeBAeeeBeeeABAtsjitkskijtskrjitrskijtsrtrskjikij)()(A张量分析两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减2两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这相当于矩阵相乘五、张量的双点积§A-4张量的代数运算SeeBAeeBAeeeBeeeABAtijktijktiksjrrstijktsrrstkjiijk))((:A张量分析两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减4rstijkksnjrmimnttnmirstijkksnjrmtnksnrstmjrmiijktsrrstkjiijkBAeeSSeeeeBAeeeeeBeeeAeeeBeeeABA))((六、张量的双叉乘§A-4张量的代数运算A张量分析七、张量的缩并§A-4张量的代数运算jiijeeAA332211AAAAAeeAAiiijijjiijA张量分析在张量的不变性记法中,将某两个基矢量点乘,其结果是一个较原张量低二阶的新张量,这种运算称为缩并八、指标置换§A-4张量的代数运算kjiijkeeeAAkjiijkkjijikeeeBeeeAA张量分析若对该张量的分量中任意两个指标交换次序,得到一个与原张量同阶的新张量kjiijkkjijikkijijkeeeBeeeAeeeA九、对称化和反对称化§A-4张量的代数运算jiijTTjiijWWA张量分析若张量的任意两个指标经置换后所得的张量与原张量相同,则称该张量关于这两个指标为对称,若与原张量相差一符号,则称该张量关于这两个指标为反称。有6个独立分量有3个独立分量九、对称化和反对称化§A-4张量的代数运算A张量分析对称化：对已知张量的N个指标进行N!次不同的置换,并取所得的N!个新张量的算术平均值的运算。其结果张量关于参与置换的指标为对称。将指标放在圆括弧内表示对称化运算。)(!31)(!21ikjjikkjikijjkiijkijkjiijijAAAAAAAAAA九、对称化和反对称化§A-4张量的代数运算A张量分析反称化:对已知张量的N个指标进行N!次不同的置换,并将其中指标经过奇次置换的新张量取反号,再求算术平均值,这种运算称张量的反称化,其结果张量关于参与置换的指标为反称。将指标放在方括弧内表示反称运算。)(!31)(!21][][ikjjikkjikijjkiijkijkjiijijAAAAAAAAAA十、商法则若在某坐标系中按某规律给出33=27个数A(ijk),且A(ijk)bk=Cij,其中bk是与A(ijk)无关的任意矢量,Cij是张量,那么,A(ijk)必为比Cij高一阶的张量。§A-4张量的代数运算A张量分析用于判定某些量的张量性！§A-5二阶张量（仿射量）A张量分析jiijeeBBuvBiiijijkkjiijeuevBeveeBbBaBbaB)(B的作用如同一个算子,它使空间内每一个向量变换为另一个向量,或者说B能把一个向量空间映射为另一向量空间。§A-5二阶张量（仿射量）A张量分析一、仿射量的转置BTjiTijjijijiTijTBBeeBeeBBjiijTBBBB,对称张量jiijTBBBB,反对称张量§A-5二阶张量（仿射量）A张量分析一、仿射量的转置BTTTTTTTTTTTTTBBBBABBABaaBBABAaBbbBa)()()()()(11α和b为任意向量A张量分析§A-5二阶张量（仿射量）一、仿射量的逆B-1jiijeeIIBB,11111111)()(BBBAABIIA张量分析§A-5二阶张量（仿射量）三、对称仿射量的主向和主值对于仿射量B,若存在三个相互垂直的方向i,j,k,其映象B·i,B·j,B·k也相互垂直,则称该三个方向为B的主向。对称仿射量T必存在三个主向和三个相应的主值。主值S满足如下特征方程。023ⅢⅡSISSA张量分析§A-5二阶张量（仿射量）三、对称仿射量的主向和主值0I23ⅢⅡSSS333231232221131211333113113332232222211211332211ITTTTTTTTTTTTTTTTTT