为此需计算弹性层状体系在荷载作用下产生的主应力

第十九讲弹性层状体系理论1路面结构应力计算为何可采用弹性层状体系？2弹性层状体系理论的基本假定是什么?3路表测试弯沉换算回弹模量的依据是什么？整个路面结构在力学性质上属于非线性的弹-粘-塑性体。由于不同材料层组成的路面结构的抗疲劳性能和使用的耐久性，不允许各结构层在行车作用下产生塑性变形的累加，尽量将变形控制在弹性工作阶段，加之高等级道路较厚的结构厚度、较高的强度、行车作用的瞬时性（通过路面某点百分之几秒），将其视作线性弹性体，应用弹性层状体系理论进行分析和计算路面结构的应力、应变和位移。1基本假设与解题方法道路路面结构体系的特点：层状结构坐落在路基上，路基坐落在无限深的地基上。受力特点：承受复杂荷载多次不均匀重复作用，本来是弹—粘—塑性，各向异性的动力学问题，简化成圆形均布静载作用在弹性层状体系上，见图1和图2ihii,Enn,E11,E1hp图1弹性层状体系示意图基本假设：1每一层均由均质各向同性的以及位移和形变是微小的线性弹性材料组成，其弹性参数以回弹模量和泊松比表征；2最下层在水平方向和垂直向下方向为无限大(弹性半空间体)，其上各层在水平方向无限延伸但竖向具有一定厚度hi；3层间接触：各层分界面上的应力和位移完全连续（称连续体系）或者竖向的应力和位移连续而层间的摩阻力为零（称滑动体系）；4各层在水平方向无限远处及最下一层无限深处的应力、形变和位移均为零。5不计自重：xθdθσzdrzdzrσrzrrddrrzzrrdrrzydrrrzrzdrrrrdzzdz图2圆柱坐标系中微分单元体受力分析图•求解时，将车轮荷载简化为圆形均布荷载（垂直荷载与水平荷载），并在圆柱坐标体系中分析各分量。在图2的圆柱坐标中，在弹性层状体系内微分单元体上，应力分量有三个法向应力及三对剪应力：)(zr、、,zr、和、zzrrzrrz,,•当层状体系表面作用着轴对称荷载时，各应力、形变和位移分量也对称于对称轴，即它们仅是r和z的函数。因而,三对剪应力只剩下一对。下面以这种轴对称的情形为例，简述弹性层状体系各分量的求解方法。0,0zzrrzrrz•由弹性力学得知，对于以圆柱坐标表示的轴对称课题，其平衡方程（不计体积力）为：（1）0rzrrzrr0rrrzrzzz表示体系内任一点应力形变关系的物理方程为：)]([1zrrE)]([1rzE)]((1rzzEzrzrE)1(2（2）又知轴对称课题的几何方程为：变形连续方程为：zruruzr；；(3)011(22222rrrr）0111)(222rrrr011222zz011222zzrzrrr(4)式中如果引用应力函数，并把应力分量表示成为：；2222221zrrrzr），（zr)(222rzr)1(2rrz])2[(222zzz])1[(222zrrzzr(5)则将（5）式代入（1）式及（4）式中，（1）式的第一个方程自然满足，其余各方程的共同要求是：如果能从（6）式中解得应力函数，代入（5）式中即得各应力分量，如将各应力分量代入（2）式中则得形变分量。022（6）由（5）、(2)及（3）式可得以应力函数表示的位移力量，即：将解得的应力函数代入上式可以得到位移分量表达式。zrEu21])1(2[1222zE(7)求解方程（6）的方法有分离变量法和积分变换法，习惯上多采用汉克尔积分变换法。由汉克尔变换求得解为：式中：---第一类零阶贝塞尔函数；A，B，C，D---待定系数，由弹性层状体系的层间连续条件和边界条件确定。drJeDZCeBZAzrzz)(])()[(),00（(8))0rJ（将（8）式代入（5）和（7）式可得各应力分量和位移分量表达式。对于某种特定的荷载、体系层数与层间连续条件，式中的待定系数就可以确定。11,Ehp00,Ezr图3双层连续体系受单圆均布荷载计算图式当表面作用有单圆当量圆的半径为的圆形均布垂直荷载，利用弹性理论，可求解得到距荷载作用面中心轴r处的路面垂直位移（以下称弯沉）图3E0—路基回弹模量。E1、h1—上层材料的回弹模量（）和厚度（cm）；rrEP02p2/mMN--双层体系表面距荷载作用面中心轴r处弯沉系数，其解为含有贝赛尔函数的积分，其值为和的函数。即，已制成计算软件，可计算距荷载作用面中心轴r处的路表弯沉值。r），10/(EEDhfr2/h10/EE图4弹性层状体系单圆均布荷载弯沉计算诺谟图[例1]已知求荷载作用面中轴处的弯沉。解：由图4从纵轴处绘水平线，横轴h/D=0.714处绘竖直线，两线交点同图中曲线（）相截，沿曲线查得：，则cmhmMNEmMNEcmmMNp20,/180,/45,14,/5.0212020714.0282025.01804510DhEE，25.010EE046.00cmEp143.046.045145.022000例2：已知：荷载面中轴处的弯沉值限定为1mm，求面层应有的厚度h。解：由可得处引一水平线，同的曲线相交作一垂线与横轴相交得：21202/280,/65,14,/5.0mMNEmMNEcmmMNP00002Ep464.0145.02651.02000pE232.0,232.0280651010EEEE从纵轴464.00cmhDh5.182866.0,66.0•双层连续体系表面作用双圆均部荷载，荷载轴线上的垂直位移（即弯沉）为：式中：--分别为上层和半空间体的弹性模量和泊松比。dhJLeMeMLhMeheEphhhh)(4142)1(21222220121(a)mmL01043)43(43）（mmM11)43(1)1()1(0110EEm0011，，，EE公式（a）为含有贝塞尔函数和指数函数的广义积分。所有各分量的表达式都是如此形式，它们的数值计算需借助于电子计算机来进行。为了使用方便，将（a）式改写为：(b)式中：称为垂直位移系数，其计算结果绘成诺谟图如图4。计算时取公式（b）是非常重要的公式，野外测弯沉反算路基模量就是使用的该公式。02EpdhJLeMeMLhMehLEEhhhhe)(4141122222201021）（.25.035.010，eW10/EE/h双层体系双圆轮隙中心处表面弯沉系数诺谟图弹性三层体系解0ABC1E11h2EH0E2211022kkEplEplLLL（1）（2）弹性三层状体系双圆均布荷载轮隙中点弯沉计算诺谟图2主应力计算在沥青路面的结构计算中，通常要验算路面结构层的强度，为此需计算弹性层状体系在荷载作用下产生的主应力。根据弹性力学得知，用圆柱坐标表示的空间问题的三个主应力同各应力分量之间的关系为下式的解：（11）式中：第一应力状态不变量；第二应力状态不变量；第三应力状态不变量。032213zr12222zrzrrzzr22232rzzrzrzrzrzr公式（11）中各应力分量由弹性层状体系理论求得后，则可由代数方法求得此一元三次方程的三个根，即三个主应.由最大主应力和最小主应力可得最大剪应力，即：321和，13)(2131max(12)当弹性层状体系上有多个荷载作用时，需先应用叠加原理求出相应的各应力分量，然后由方程（11）解算主应力。根据材料力学中斜剪面应力的概念，可以得出多个荷载作用时各应力分量的公式，它们是：]2sin2cos22[1iiriiriniirir]2sin2cos22[1iiririiriininiziz1]sincos[1iizinizrizr]2cos2sin2[1iiriniirir]sincos[1izriiniizz(13)式中：--第i个荷载应力分量与计算应力分量之间的夹角。i当只有n个轴对称垂直荷载作用时，由于单个轴对称垂直荷载作用于弹性层状体系时属轴对称课题，即,所以得：0iziriiinirir221sincos[]sincos[221iriiniiniziz1inizrizrcos1iniirir2sin21inizrizsin1(14)对于沥青路面设计采用的双圆荷载图式（见图5），如果计算某点方向的应力分量，则以为计算截面的法线方向，因而。011的01112210，1212图5双圆荷载外点计算图