第3章 函数逼近与快速傅里叶变换

上页下页第3章函数逼近与快速傅里叶变换•3.1函数逼近的基本概念•3.2正交多项式•3.3最佳平方逼近•3.4曲线拟和的最小二乘法•3.5*有理逼近•3.6*三角逼近与快速傅里叶变换本章基本内容上页下页在数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的简单表达式，这些都涉及在区间[a,b]上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题.第2章讨论的插值法就是函数逼近的一种.3.1函数逼近的基本概念3.1.1函数逼近与函数空间上页下页本章讨论的函数逼近，是指“对函数类A中给定的函数f(x)，记作f(x)∈A，要求在另一类简单的便于计算的函数类B中求函数p(x)∈B，使p(x)与f(x)的误差在某种度量意义下最小”.函数类A通常是区间[a,b]上的连续函数，记作C[a,b]，称为函数逼近空间;而函数B通常为n次多项式,有理函数或分段低次多项式等.为了在数学上描述更精确，先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识.上页下页数学上常把在各种集合中引入某一些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。例1所有实n维向量集合，按向量的加法和数乘构成实数域R上的线性空间---Rn,称为n维向量空间.例2对次数不超过n的（n为正整数）实系数多项式全体，按多项式加法和数乘构成数域R上的多项式线性空间--Hn,称为多项式空间.例3所有定义在[a,b]集合上的连续函数全体，按函数的加法和数乘构成数域R上的连续函数线性空间–C[a,b],称为连续函数空间.类似地记Cp[a,b]为具有p阶连续导数的函数空间.上页下页则称x1,x2,…,xn线性相关，否则称x1,x2,…,xn线性无关，即只有当a1=a2=…=an=0时等式(1.1)才成立.定义1设集合S是数域P上的线性空间，元素x1,x2,…,xn∈S，如果存在不全为零的数a1,a2,…,an∈P，使得1122...0,nnaxaxax(1.1)上页下页则x1,…,xn称为空间S的一组基,记为S=span{x1,…,xn},并称空间S为n维空间，系数a1,…,an为x在基x1,…,xn下的坐标，记作(a1,…,an)，如果S中有无限多个线性无关元素x1,…,xn,…，则称S为无限维线性空间.若线性空间S是由n个线性无关元素x1,…,xn生成的，即对任意x∈S，都有,11nnxaxax上页下页它由n+1个系数(a0,a1,…,an)唯一确定.1,x,…,xn线性无关，它是Hn的一组基，故集合Hn=span{1,x,…,xn}，且(a0,a1,…,an)是p(x)的坐标向量，Hn是n+1维的.下面考虑次数不超过n实系数多项式集合Hn，其元素p(x)∈Hn表示为01(),(1.2)nnpxaaxax上页下页其中ε为任意给的小正数，即精度要求.这就是下面著名的魏尔斯特拉斯（Weierstrass）定理.对连续函数f(x)∈C[a,b]，它不能用有限个线性无关的函数表示，故C[a,b]是无限维的，但它的任一元素f(x)∈C[a,b]均可用有限维的p(x)∈Hn逼近，使误差)()()()(maxxpxfxpxfbxa上页下页在[a,b]上一致成立.（证明略，见书p52有说明.）定理1设f(x)∈C[a,b]，则对任何ε0，总存在一个代数多项式p(x)，使)()(xpxf上一致成立；，在使得其中伯恩斯坦多项式给出一种构造性证明：伯恩斯坦]1,0[)(),(lim,)1()((1.3)),(),()1912(0xfxfBxxknxPxPnkfxfBnnknkknkkn).(),(lim]1,0[)()()(xfxfBCxfmmnnm，则若上页下页.1)1()(;0)(00nknkknkkkxxknxPxP其他性质：,)()(max)(),(]1,0[,)(0100nkkxnkknxPxfxPnkfxfBxxf，则若.),(是稳定的故xfBn由(1.3)式给出的Bn(f,x)也是f(x)在[0,1]上的一个逼近多项式，但它收敛太慢，实际中很少使用.上页下页更一般地，可用一组在C[a,b]上线性无关的函数集合来逼近f(x)∈C[a,b]，元素表示为niix0)(001101()()()(){(),(),,()}[,].(1.4)nnnxaxaxaxspanxxxCab函数逼近问题就是对任何f(x)∈C[a,b]，在子空间中找一个元素*(x)∈，使f(x)-*(x)在某种意义下最小.上页下页3.1.2范数与赋范线性空间为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数定义，它是Rn空间中向量长度概念的直接推广.定义2设S为线性空间，xS，若存在唯一实数·，满足条件：(1)x0;当且仅当x＝0时,x=0;(正定性)(2)x=||x,R;(齐次性)(3)x+yx+y,x,yS.(三角不等式)则称·为线性空间S上的范数，S与·一起称为赋范线性空间，记为X.上页下页称为－范数或最大范数,1称为－范数,2称为－范数.对Rn上的向量x＝(x1,x2,…,xn)T,三种常用范数为：1max,iinxx11,niixx12221,niixx上页下页||||max|()|,axbffx类似的对连续函数空间C[a,b],若f∈C[a,b]可定义以下三种常用函数的范数称为范数1|||||()|,baffxdx1称为范数1222||||(()),baffxdx2称为范数可以验证这样定义的范数均满足定义2中的三个条件.上页下页3.1.3内积与内积空间在线性代数中，Rn上的两个向量x＝(x1,x2,…,xn)T与y＝(y1,y2,…,yn)T的内积定义为(x,y)=x1y1+x2y2+…+xnyn.(1.5)若将它推广到一般的线性空间X，则有下面的定义.上页下页定义3设X是数域K(R或C)上的线性空间，对任意u,v∈X，有K中一个数与之对应，记为(u,v)，它满足以下条件：.0),(,0,0),()4(;,,),,(),(),()3(;,,),,(),()2(;,,),(),()1(______uuuuuXwvuwvwuwvuXvuKavuavauXvuuvvu时当且仅当则称(u,v)为X上u与v的内积，定义了内积的线性空间称为内积空间.定义中(1)当K为实数域R时为(u,v)＝(v,u).如果(u,v)=0，则称u与v正交(记为u⊥v)，这是向量相互垂直概念的推广.关于内积空间有以下重要定理.上页下页定理2设X为一个内积空间,对任意u,v∈X有如下不等式成立它称为柯西－施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式.2(,)(,)(,).(1.6)uvuuvv证明当v=0时,显然成立.设v≠0，则(v,v)0,且对任何数t有(这里设为实空间)).,(),(2),(),(02vvtvutuutvutvu取t=-(u,v)/(v,v),代入上式右端，得.0),(),(),(),(2),(22vvvuvvvuuu即得v≠0时有).,)(,(),(2vvuuvu上页下页112111222212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(1.7)(,)(,)(,)nnnnnnuuuuuuuuuuuuGuuuuuu定理3设X为一个内积空间，u1,u2,…,un∈X，矩阵称为格拉姆(Gram)矩阵,则G非奇异的充分必要条件是u1,u2,…,un线性无关.证明G非奇异等价于detG≠0，其充分必要条件是下面齐次线性方程组只有零解11,(,)0,1,,(1.8)nnjjkjkjjjauuuuakn上页下页而nkuuaknjjj,,1,0,10,11njjjnjjjuaua112210(1.9)njjnnjauauauau从以上的等价关系可知道，detG≠0等价于从方程(1.8)推出a1=a2=…=an=0，而后者等价于从方程(1.9)推出a1=a2=…=an=0，即u1,u2,…,un线性无关.证毕上页下页在内积空间X上可以由内积导出一种范数，即对于u∈X，记(,)(1.10)uuu容易验证它满足范数定义的三条性质,其中三角不等式(1.11)uvuv可由定理2直接得出，即2222),(),(),(2),(2)(vuvuvuvvvuuuvvuuvu两端开方即得(1.11).上页下页例1Rn的内积，设x,y∈Rn，x＝(x1,x2,…,xn)T，y＝(y1,y2,…,yn)T，则其内积定义为1(,)(1.12)niiixyxy由此导出的向量2-范数为21122),(niixxxx1(,)(1.13)niiiixyxy若给定实数i0(i=1,…,n)，{i}称为权函数，则在Rn上可定义加权内积为上页下页相应的向量2-范数为21122),(niiixxxx不难验证(1.13)给出的(x,y)满足内积定义的四条性质.当i=1(i=1,…,n)时，(1.13)就是(1.12).1(,)(1.14)niiiixyxy如果x,y∈Cn，带权内积定义为这里{i}仍为正实数序列.在C[a,b]上也可以类是定义带权内积，为此先给出权函数定义.上页下页定义4设[a,b]是有限或无限区间，在[a,b]上的非负函数(x)满足条件：),,1,0()()1(kdxxxbak存在且为有限值.0)(0)()(),(],[)2(xgdxxxgxgbaba则，如果数上的非负连续函对则称(x)为[a,b]上的一个权函数.它的物理意义可以解释为密度函数.上页下页例2C[a,b]上的内积，设f(x),g(x)∈C[a,b]，ρ(x)是上给定的权函数，则可内积定义为容易验证它满足内积定义的4条，由此内积导出的范数((),())()()()(1.15)bafxgxxfxgxdx1222()((),())()()(1.16)bafxfxfxxfxdx称(15)和(16)为带权(x)的内积和范数，特别常用的是(x)≡1的情形，即badxxgxfxgxf)()())(),((2122)()(badxxfxf上页下页00010101110102(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,,,).(1.17)(,)(,)(,)nnnnnnnGG若0,1,…,n是C[a,b]中的线性无关函数族，记=span{0,1,…,n}，它的拉姆(Gram)矩阵为根据定理3知0,1,…,n线性无关的充分必要条件是detG(0,1,…,n)≠0.上页下页3.1.4最佳逼近则称P*(x)是f(x)在[a,b]上的最佳逼近多项式.如果P(x)∈=span{0,1,…,n}，则称相应的P*(x)为最佳逼近函数.通常范数·取为·∞或·2.若取·∞,即函数逼近主要讨论给定f(x)∈C[a,b]，求它的最佳逼近多项式.若P*(x)∈Hn=span{1,x,…,xn}，使误差()()min()(),nPHfxPxfxPx()()min()()minmax()(),(1.18)nnPHPHaxbfxPxfxPxfxPx上页下页则称P*(x)是f(x)在[