09-多自由度系统的数值计算方法

返回首页TheoryofVibrationwithApplications瑞利(Rayleigh)能量法李兹(Ritz)法子空间迭代法多自由度系统多自由度系统的数值计算方法返回首页TheoryofVibrationwithApplications在求解多自由度系统的固有频率和主振型的问题时，随着系统自由度数目的增加，这种求解计算工作量也随之加大。因此，通常要借助计算机进行数值计算。常用的数值计算方法有：瑞利法李兹法子空间迭代法下面介绍这几种常用的数值计算方法及计算机的应用。多自由度系统多自由度系统的数值计算方法返回首页TheoryofVibrationwithApplications多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—瑞利法单自由度系统运动微分方程0kxxm位移函数)cos(tAx速度函数)sin(tAxTUnmax2瑞利商：maxmaxUET返回首页TheoryofVibrationwithApplications设A为振型矢量，对于简谐振动，其最大动能和最大势能为KAAMAATTVT2121max2maxmaxmaxVTMAAKAATT2对于保守系统，由能量守恒，则有若A是系统的第i阶主振型A(i)，则得相应的主频率的平方2iRATTⅠ()AKAAMA若A是任意的n维矢量，则可得称为瑞利商为了区别用位移方程求得的值，又称之为瑞利第一商。MxKx0多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—瑞利法返回首页TheoryofVibrationwithApplications瑞利第一商值是否为系统某一主频率的平方，则决定于所取矢量A。如果A与某一主振型矢量接近，则所得瑞利商是相应的固有频率的近似值。实际上，对高阶振型很难做出合理的假设，而对于第一阶主振型则比较容易估计，所以此方法常用于求基频，现推证如下。按照振型叠加的原理，系统的任何可能位移，包括假设振型，都可以描述为各阶主振型的线性组合。现取假设振型A是正则振型矢量的线性组合，即AAAAAACCCCCNNnNniinNiN11221多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—瑞利法返回首页TheoryofVibrationwithApplications现取假设振型A是正则振型矢量的线性组合，即AAAAAACCCCCNNnNniinNiN11221CCCCnT12CiNiTNiTNiNiT()()()AMAAMAAMA是组合系数的列矩阵，且为非全为零的常数Ci可用振型的正交条件求出。即nNnNNCCCAAAA2211MATiN)(前乘多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—瑞利法返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsCMAACCKAACNTNTNTNTAR)(ⅠICCCCTT2niiniiiCC121222121321221212132132122122111CCCCCCCCCCCCnnnCiNiTNiTNiNiT()()()AMAAMAAMAAAAAAACCCCCNNnNniinNiN11221RATTⅠ()AKAAMA代入多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—瑞利法返回首页TheoryofVibrationwithApplications由此可见，瑞利商的平方根是基频ω1的近似值。假设振型越接近于真实的第一阶振型，则结果越准确。通常，以系统的静变形作为假设振型，可以得到较满意的结果。21)(ARⅠ11312,,,CCCCCCn＜＜1由于假设振型A接近于第一阶主振型，所以有，多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—瑞利法返回首页TheoryofVibrationwithApplications可以看出，用瑞利法求出的基频近似值大于实际的基频ω1。这是由于假设振型偏离了第一阶振型，相当于给系统增加了约束，因而增加了刚度，使求得的结果高于真实的值。由于＞11i),,3,2(ni多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—瑞利法返回首页TheoryofVibrationwithApplications0xxMtsinAxMAA2MAMAMAATT2如果采用位移方程描述系统的运动微分方程，即AMT前乘以同理，若A是任意的n矢量，则有MAMAMAATT2RATTⅡ()AMAAMMA称为瑞利第二商若假设振型接近于第一阶主振型时，则是基频的近似值RAⅡ()21给出同样假设振型的同一振动系统，用瑞利第二商计算的结果，要比用瑞利第一商计算的结果更精确一些。多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—瑞利法返回首页TheoryofVibrationwithApplications例1用瑞利法求图示三自由度扭转系统的第一阶固有频率的估值。已知k1=k2=k3=k；I1=I2=I3=I。解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为III000000Μ110121012kK3212211111k逆矩阵A111TAMAAKAAMMATTTIkIk3142；；计算得求第一阶固有频率的估值，取假设振型多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—瑞利法返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsRATTⅡ()AMAAMMARATTⅠ()AKAAMAIkAR333.0)(ⅠIkAR214.0)(Ⅱ在上面的计算中，假设振型比较“粗糙”，与该系统的第一阶固有频率，精确到第四位值的比较误差较大。Ik198.021多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—瑞利法返回首页TheoryofVibrationwithApplications如果进一步改进假设振型，即以静变形曲线为假设振型，如设A356TAMAAKAAMMATTTIkIk70143532;;RAkIRAkIⅠⅡ().;().020001983显然，在工程上，若以静变形曲线作为假设振型，可以得到很好的第一阶固有频率的近似值。多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—瑞利法返回首页TheoryofVibrationwithApplications用瑞利法估算的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且其值总是精确值的上限。李兹法对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降，并且还可得系统较低的前几阶固有频率及相应的主振型在李兹法中，系统的近似主振型假设为Aaaass112212,,,s1212ssTaaa,aAa是选取的s个线性独立的假设振型ns矩阵s维待定系数2)(aMaaKaTTTTARⅠ多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—李兹法返回首页TheoryofVibrationwithApplications2)()()(aTaUARⅠⅠⅠ2)(aMaaKaTTTTARⅠ由于在系统的真实主振型处取驻值，这些驻值即相应的各阶固有频率的平方，所以a的各元素由下式确定RAⅠ()2i0)()()()()(1)(2iiiaaTaUaaUaTaTaARⅠⅠⅠⅠⅠⅠis12,,,0)()(2iiaaTaaUⅠⅠaMaTTaT)(ⅠaKaTTaU)(Ⅰ多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—李兹法返回首页TheoryofVibrationwithApplications2)()()(aTaUARⅠⅠⅠ0)()(2iiaaTaaUⅠⅠaMΨΨTiiaaT2)(ⅠaKΨΨaKΨΨaaaΨKΨaaKΨΨaTiTiTiTTiTiaaaaU22)(Ⅰ02aMaKTiTiis12,,,KKT0aMaK2MMTn个自由度缩减至s自由度。刚度矩阵质量矩阵多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—李兹法返回首页TheoryofVibrationwithApplications李兹法是一种缩减系统自由度数的近似方法。频率方程02MKaiis(,,,)120aMaK2求出s个固有频率，即n自由度系统的前s阶固有频率。解出其相应的特征矢量求出n自由度系统的前s阶主振型Aaiiis12,,,()aMaiTjijij01()()AMAaMaiTjiTTjijij01正交性多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—李兹法返回首页TheoryofVibrationwithApplications2)(MAMAMAATTARⅡ0aMΨMΨaMΨΨTT2对于瑞利第二商Aa利用驻值条件可得s个方程，将其写成矩阵形式0aM)(202M特征方程MΨMΨTaiis(,,,)12求出s个固有频率，即n自由度系统的前s阶固有频率。解出其相应的特征矢量求出n自由度系统的前s阶主振型Aaiiis12,,,MMT多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—李兹法返回首页TheoryofVibrationwithApplications例2用李兹法求图示四自由度振动系统的前二阶固有频率及主振型。解：由条件可求出系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵43213321222111111,002002002,000000000000kkkkkkkkkkkmmmmKM12025050075100000020060100........TT设振型多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—李兹法返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsMMKKTTmk188155155140025025025036........04.1035.1235.1236.152kmTMΨMΨ求出040.136.055.125.055.125.088.125.02222mkmkmkmk0040.136.055.125.055.125.088.125.0212222aamkmkmkmk00.180.0,00.100.4,12.0222112112221aaaamkmk求出2个固有频率，即4自由度系统的前2阶固有频率。多自由度系统多自由度系统的数值计算方法—李兹法返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsAa11025000050020075060100100400100079140180220220036064082100...................A1036064082100....TAa22100100000100....T求出系统的前二阶主振型多自由度系统多自由