第二章 一阶动态电路的暂态分析

第二章一阶动态电路的暂态分析1第二章一阶动态电路的暂态分析2.1电容元件与电感元件2.2换路定则及其初始条件2.3一阶电路零输入响应2.4一阶电路零状态响应2.5一阶电路完全响应2.6三要素法求一阶电路响应2例如：电机的起、停，温度的升、降等不能跃变，需要经过一定的时间，这个过程称为过渡过程。?uCtus0uRtus0稳态过渡过程稳态第二章一阶动态电路的暂态分析KRiRUSRKRiUSKRiUSRuKRiUSCuKRiCUSCuC3?uCtus0uc=0uc↑uc=us充电前充电时充电完稳态稳态暂态（过渡过程）原因外因：电路结构变化（换路、切断、短路等）内因：动态元件L、C的存在第二章一阶动态电路的暂态分析KRiUSCuKRiCUSCuC42.1.1电容元件ttCut)t(q)t(id)]([dddi+q-q+-uuqC电压与电流取关联参考方向CuqttuCtid)(d)(得到正比于电压变化率2.1电容元件与电感元件5ttdiCtuCtqtu0)(1)()()(0)t(uCuCuttuCutuitp)t(w)t(wC2C21)d()]d(dd[)d()d(dξξiqtqt)d((0))(0电容元件存储的电荷量为电容元件电压与电流的关系为电容元件存储的能量为电容某时刻的储能与该时刻的电压平方成正比，电容电压为状态变量电容某时刻的电压，并不是只取决于该时刻的电流值，还与t0时刻前的历史有关系，为记忆元件“历史”2.1电容元件与电感元件6ttuL)t(i)t(i0))d((10磁通量Ψ与电流i取右螺旋方向iu+-LitΨLui+-tLitΨttiLttLitΨudddddtd电压与电流取关联参考方向tNΦtΨ，，即ttiLudd电感元件的电流正比于电流变化率2.1.2电感元件7ttuL)t(i)t(i0))d((10iu+－LttiLuddiu+－CttuCtid)(d)(ttdiCtutu0)(1)()(0)t(uC)t(wC221)t(iL)t(wL221正比于电流平方，电流为状态变量记忆元件对照电容元件与电感元件8解电感的VAR1Lde(V)dtiuLtKVL1L2uiu4e(V)t　　电容的VAR2d0.2e(A)dtuiCt　KCL1220.8e(A)tiii图2.1.4例2.1.2电路【例2.1.1】如图所示电路2.1.2(b)，已知i1=(2-e-t)(A),t0。求t0时的电流2.1.2电感元件92.2.1换路定则电路中开关的接通、断开，元件参数的变化统称为换路。换路会使电路由一个状态过渡到另一个状态。如果电路中有储能元件，储能元件状态的变化反映出所存储能量的变化。能量的变化需要经过一段时间，因此电路由一个状态过渡到另一个状态要有一个过程，这个过程称为过渡过程。储能元件电压与电流是微分关系，分析动态电路要列解微分方程。含有一个储能元件的电路列出的是一阶微分方程，因此含有一个储能元件的电路称为一阶电路。2.2换路定则及其初始条件10由于物体所具有的能量不能跃变，因此，在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变．由2LL21LiW可见电容电压uC和电感电流iL不能跃变．2CC1,2WCu换路定律：换路时电容上的电压，电感上的电流不能跃变．即CCLL(0)(0)(0)(0)uuii设换路的时刻为t=0，换路前的瞬间记为t=0－，换路后的瞬间记为t=0+，0－和0+在数值上都等于零。2.2换路定则及其初始条件t=0t=0-换路前一瞬间t=0+换路后一瞬间t换路时刻11ξξuLtitiξξiCtututttt)d(1)()()d(1)()(000LL0CC前面我们见到tuLiitiCuuttttd1)0()0(d1)0()0(LLLCCC如果取t0=0-，t=0+，可得积分项中iC和uL为有限值，积分项为零，同样得到)0()0()0()0(LLCCiiuu2.2换路定则及其初始条件122.2.2初始条件确定用时域分析法求解电路的动态过程实质就是求解微分方程．因此，必须要用初始条件确定积分常数.在一阶电路中，一般用电容电压或者电感电流作为变量列微分方程。初始值：就是所求变量在换路结束瞬间的值。132)根据换路定律，求出独立变量初始值uC(0+)和iL(0+)。3）在t=0+等效电路中求其他支路电压、电流的初始值：可用电压为uC(0+）的电压源替代电容，用电流为iL(0+)的电流源替代电感，画出t=0+等效电路，如果换路前储能元件没有储能，即uC（0+)=0，iL(0+)=0，则电容→短路，电感→开路。1)先由t=0-等效电路求出uC(0–)、iL(0–)：在直流激励下，换路前，电路已处于稳定状态时，将电容→开路，电感→短路，得到t=0-等效电路。初始值的计算过程14[例]图（a)所示电路，t0时电路已达稳态，t=0时将开关K闭合。试求各元件电流、电压初始值。解：t0时电路已达稳态，电容相当于开路．V1000V100CCSCuuUu2.2换路定则及其初始条件(a)uCu2CKiCi1u110V10μF3kΩ2kΩi2+－15t=0+的等效电路如下图(b)所示．000CS1)()(uUu000111Rui/)()(V1000C2)()(uumA500222Rui/)()(mA500021C)()()(iii2.2换路定则及其初始条件(a)uCu2CiCi1u110V3kΩi2+－(a)uCuCiCi1u110μF32i2+－kΩ(b)0+时刻等效电路USi1(0+)10V32i2(0+)u1(0+)i(0+)uC(0+)(b)0时刻等效电路i1(0+)10V32i2(0+)u1(0+)i(0+)uC(0+)u2(0+)+－kΩkΩ16[例]图(a)中电路换路前已经稳态，t=0时闭合开关，试求开关闭合前和闭合后瞬间的电感电流和电感电压。(a)解：开关闭合前电路稳态，电感相当于短路．2AR1=1ΩR2=1ΩKLiLi1V0)(0A122)(0)0(L1Luii2.2换路定则及其初始条件17t=0时闭合开关，0+时刻等效电路如下图(b)所示2AR1=1ΩR2=1ΩKLiLi1(a)(b)0+时刻等效电路2AR1R2i1iL(0+)uL(0+)(V)1)11()(0)(0L2LiRuA1)(0)(0LLii2.2换路定则及其初始条件18t=0时开关闭合，0+时刻等效电路如图(b)所示．A414)(0iA2)(02)(0CiiV0234100L)(u换路过程中，电容电压与电感电流不发生跃变，其它响应都有可能发生跃变。图(a)10V3ΩK2Ω2Ω1H2FiCuCt=0iiL10V3Ω1Ω4V2AuL(0+)iC(0+)i(0+)图(b)t=0+时刻等效电路+－2.2换路定则及其初始条件19解C(0)1(A)iLC(0)(0)5(0)5(V)uui图2.2.2例2.2.2电路图由于换路前动态元件均未储能，所以t=0时uC(0–)=c(0+)=0，iL(0–)=iL(0+)=0，相当于电容短路、电感开路，则0+时刻等效电路如图2.2.2(b)所示，得【例2.2.2】如图2.2.2(a)所示电路，开关S在t=0时打开，开关打开前电感电容均未储能。求uc、ic、uL、iL及u的初始值。2.2换路定则及其初始条件202.3一阶电路的零输入响应如果电路中只含有一个储能元件，所列写电路的微分方程是一阶微分方程，故含一个储能元件的电路称为一阶电路．零输入响应：•电路的输入为零，响应是由储能元件所储存的能量产生的，这种响应称为零输入响应本节讨论RC电路和RL电路的零输入响应．21图(a)所示电路中的开关原来连接在1端，电压源U0通过电阻Ro对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压已经达到U0。在t=0时开关迅速由1端转换到2端。已经充电的电容脱离电压源而与电阻R联接，如图(b)所示,由于t0时，无信号源作用，因而称为零输入响应。RC电路的零输入响应(a)(b)uCU0RKCR012ucuRRCiR1.RC电路的零输入响应22我们先定性分析t0后电容电压的变化过程。当开关倒向2端的瞬间，电容电压不能跃变，即0CC00U)(u)(u由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电容电压相同，即0CR00U)(u)(u电阻的电流为RU)(i0R0(a)(b)uCU0RKCR012ucuRRCiR1.RC电路的零输入响应23该电流使得电容元件中的电荷量不断减少，电压不断降低，直到电荷量为零，电容电压为零。这个过程一般称为电容放电。电阻消耗的能量需要电容来提供，这造成电容电压的下降。也就是电容电压从初始值uC(0+)=U0逐渐减小到零的变化过程。这一过程变化的快慢与电阻元件参数的大小和电容元件参数的大小有关。ucuRRCiR1.RC电路的零输入响应24为建立图(b)所示电路的一阶微分方程，由KVL得到0CRuu由KCL和电阻、电容的VCR方程得到tuRCRiRiuddCCRR代入上式得到以下方程CCd0duRCut(2.3.1)(a)(b)uCU0RKCR012ucuRRCiR1.RC电路的零输入响应25这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解为ptK)t(ueC代入式中，得到特征方程01RCp其解为RCp1－1.RC电路的零输入响应(a)(b)uCU0RKCR012ucuRRCiR26于是电容电压变为式中A是一个常量，由初始条件确定。当t=0+时上式变为AA)(uRCte0C根据初始条件0CC00U)(u)(u求得0UAC()et0tRCutA1.RC电路的零输入响应27得到图(b)电路的零输入响应为0iR2ττt3τU0/R0.368U0/R0uCU02ττt3τ0.368U0RC电路的零输入响应曲线-C0()e(0)tRCutUt-C0Cd()e(0)dtRCuUitCttR按指数规律单调下降（2.3.3）1.RC电路的零输入响应28010C836eUUu%.t当时由曲线可见，各电压电流的变化快慢取决于R和C的乘积。令=RC，由于具有时间的量纲，故称它为RC电路的时间常数。的物理意义时间常数等于电压Cu衰减到初始值U0的时所需的时间。1e1221，越大衰减越慢1.RC电路的零输入响应RCteU)t(uC029当t=5时，uC(5)=0.007U0，基本达到稳态值。只有t→∞时电路才能真正达到稳态，uC=0。工程上认为t=(3~5)τ，uC→0电容放电基本结束。tCu0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U234651e2e3e4e5e6etete随时间而衰减1.RC电路的零输入响应30[例]电路如图（a)所示，换路前电路处于稳定状态。t=0时刻开关断开，求t0的电容电压和电容电流。解：换路前开关闭合，电路处于稳定状态，电容电流为零，电容电压等于200Ω电阻的电压，由此得到图（a)1.RC电路的零输入响应31(V)72)0()0(CCuu(V)72200300200180)0(Cu时间常数：(s)10910310020046)(RCτ按式（2.3.3）写出电容电压的零输入响应(V)72ee)0(e)(4109--C-0CttRCtuUtu1.RC电路的零输入响应32计算电容电流tte0CueutCttuCti)(])0([ddd)(d)(CCCC(A)2401091