第二章 二次函数复习课的精华内容全

新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！二次函数复习1.二次函数的定义及表达式1.定义：形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数其中二次项为ax2，一次项为bx，常数项c.二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项c.2.二次函数的表达式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)(2)顶点式：y=a(x-m)2+k(a≠0)(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)3.各种表达式可直接获得的信息：(一般式)y=2x2-3x-5信息：开口向上，与y轴的交点为(0，-5)等.(顶点式)y=-0.5(x+3)2+1信息：开口向下，顶点坐标(-3,1)；对称轴为直线x=-3；当x=-3时，y最大值=1等.(交点式)y=-5(x+4)(x-3)信息：开口向下，与x轴交点为(-4,0)，(3,0)；对称轴为直线x=-0.5等.2.选择合适的二次函数表达式求出具体的二次函数解析式1.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）.求a、b、c.解：∵二次函数的最大值是2∴函数图象对应的抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时，2=x+1,x=1∴顶点坐标为（1，2）故设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2将点（3，-6）代入上式，得：∴-6=a(3-1)2+2即a=-2∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x∴a=-2,b=4,c=0.2.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，试建立恰当坐标系,求绳子的最低点距地面的距离为多少米．2米1米2.5米0.5米xyO解建立如图所示的直角坐标系，设绳子所在的抛物线解析为：y=ax2+c将(1,2.5)与(-0.5,1)代入上式，得：∴y=2x2+0.5令x=0得y=0.5∴绳子最低点离地面的距离为0.5米ac2.50.25ac1a2c0.5解得●●(1,2.5)(-0.5,1)3.抛物线的平移、对称、旋转(1)抛物线平移、对称、旋转问题，通常应把解析式化为顶点式y=a(x-m)2+k后进行求解，重点抓住变换前后抛物线开口(系数a)与顶点坐标(m,k)的变化进行求解；(2)抛物线的平移实质是顶点位置在平移(开口方向不变)，可抓住顶点位置(m,k)的变化进行求解，二次项系数a是不变的；(3)抛物线的对称一般有关于某条直线对称(如x轴、y轴、直线x=m等)，应抓住顶点的位置(m,k)变化及开口方向变化(即a的变化)进行求解；(4)抛物线的旋转通常有：①绕顶点旋转②绕原点旋转(顶点坐标(m,k)不变，二次项系数a取相反数)(顶点坐标(m,k)，二次项系数a均取相反数)1.将抛物线y=x2-4x+c向左平移5个单位，再向上平移2个单位后经过原点，求c的值.解将抛物线y=x2-4x+c化为顶点式，得：y=(x-2)2+c-4向左平移5个单位，再向上平移2个单位后的解析式为：y=(x+3)2+c-2将(0,0)代入上式，得：0=(0+3)2+c-2∴c=-72.求抛物线y=-2x2-4x+5关于原点对称后所得抛物线的解析式.解将抛物线化为顶点式，得:y=-2(x+1)2+7该物线开口向下，顶点坐标为(-1,7)关于原点对称后开口方向相反(a=2)，顶点坐标为(1，-7)∴所求抛物线的解析式为:y=2(x-1)2-7即y=2x2-4x-53.平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2014)(x-2015)-5的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为()A．向右平移5个单位B．向下平移5个单位C．向左平移5个单位D．向上平移5个单位DC25yx3x423(x)12●●3(,1)27(,1)212345-1-2-3-1123xyO4.已知抛物线C：,将抛物线C平移得到抛物线C’,若两条抛物线C、C‘关于直线x=1对称，则下列平移方法中，正确的是()A．将抛物线C向右平移2.5个单位B．将抛物线C向右平移3个单位C．将抛物线C向右平移5个单位D．将抛物线C向右平移6个单位25yx3x4X=14.由图象确定与a、b、c及与a、b、c有关代数式的符号1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则()(A)a＞0,b＞0,c＞0(B)a＞0,b＜0,c＜0(c)a＞0,b＞0,c＜0(D)a＞0,b＜0,c＞02、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列各式正确的有_____________.①b2-4ac0;②2a+b0;③b2(a+c)2;④对于m0，方程ax2+bx+c=m恒有两个不相等的实数根.xy0B01xy●●－1y=mx1x2①②③④3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论：①abc0；②ba+c；③4a+2b+c0；④2c3b；⑤a+bm(ma+b)(m≠1的实数)其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个解(1)由a0,b0,c0知，abc0，∴①错;(2)由x=-1,y0知，a-b+c0,即ba+c，②错;(3)由x=2,y0知，4a+2b+c0成立，即③对；(4)∵a-b+c0●2b12a又1ab21bbc023bc022c3b成立，即④对3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论：①abc0；②ba+c；③4a+2b+c0；④2c3b；⑤a+bm(ma+b)(m≠1的实数)其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个B●2(5)∵x=1时，y的最大值为a+b+c又x=m时，y的值为am2+bm+c∵m≠1∴a+b+cam2+bm+c∴a+bam2+bm即a+bm(ma+b)5.二次函数的图象与一元二次方程的近似解1.根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a、b、c为常数）一个解的范围是（）Ａ、3＜x＜3.23Ｂ、3.23＜x＜3.24Ｃ、3.24＜x＜3.25Ｄ、3.25＜x＜3.26x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09CxyO2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为(-1,4),则方程ax2+bx+c-5=0的解的情况是()A.有两个同号实数根B.有异号两个实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根y=5Dy=23.设一元二次方程(x+1)(x-3)=m(-4m0)的两根分别为x1,x2,，则x1,x2满足()A.-1x1x23B.x1-1x23C.x1-1,3x2D.x1-13x2A8642-2-4-6-8-15-10-551015fx=x2-2x-3xyo-13y=my=x2-2x-3x1x2方程(x+1)(x-3)=m(m0)的解可以看成函数y=(x+1)(x-3)与函数y=m交点的横坐标4.你知道的解的个数吗？222xxxxy02(1,-1)y=x²-2x2yx222.xxx方程只有一个正数解6.典型习题解析1.抛物线y=x2-x+与坐标轴的交点共有_____个.2.抛物线y=2(x-1)2+3与y轴交点为____________.4.二次函数y=(x-1)2+1，若当1≤x≤a(a1)时，y的最大值恰好是a，则a的值为______.1212122(0,5)33.已知抛物线y=-x2+2x+c的顶点在x轴上，则c=.若y=2x2+bx+c的顶点在y轴上，则b=____________.-105.下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是()7.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2bx.若此炮弹在第10秒与第19秒时的高度相等，则问下列哪一个时间的高度是最高的()(A)第10秒(B)第12秒(C)第14秒(D)第16秒CCOyx11A．Oyx11C．Oyx11D．Oyx11B．6．下列函数y随x增大而减小的函数有：____________.①y=-3x;②y=5x2(x0);③;④;⑤;⑥y=-2x2;⑦1yx7y(x0)x19y(x0)x1xy3①②④⑦8.一个函数的图象如图，给出以下结论：①当x=0时，函数值最大；②当0x2时，函数y随x的增大而减小；③存在0x01，当x=x0时，函数值为0．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③C9.如图，抛物线与轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则:(1)abc_____0(填“”或“”)；(2)a的取值范围是________________.32425a≤≤2ya(x1)33a42ya(x3)22a257.二次函数的综合应用20.1()2.5yxk①求k的值；丁丁推铅球的出手高度为1.6m,在如图,所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物线:②求丁丁推铅球的成绩；20.1(3)2.5yx(0，1.6)A解：由图像可知，抛物线过点(0,1.6)即当x=0时，y=1.6,1.6=-0.1k2+2.5,k=±3.又因为对称轴是在y轴的右侧，即x=k0,所以，k=3.设y=0,得-0.1(x-3)2+2.5=0，解之得，x1==8,x2=-2(舍去)，所以，OA=8，故铅球的落地点与丁丁的距离是8米.xyO如图是一个汽车隧道，形状成抛物线，隧道路面宽10米，顶部到地面的距离为10米..(1)试建立合适的直角坐标系，求抛物线的解析式；10米10米10米10米yxoxyo10)5(522xy10522xy10米10米yxo252xy(2)一辆高4米，宽4米的厢式货车能否顺利经过这条单向行车的隧道？如图是一个汽车隧道，形状成抛物线，隧道路面宽10米，顶部到地面的距离为10米..(1)试建立合适的直角坐标系，求抛物线的解析式；10米10米yxo10522xy(3)若此隧道是双向车道，那么这辆货车又能否顺利经过隧道？(2)一辆高4米，宽4米的厢式货车能否顺利经过这条单向行车的隧道？(2)当x=2时，4∴该厢式货车能顺利经过这条单向行车的隧道.(3)当x=4时，22y21058.422y41053.64∴该厢式货车不能经过这条双向行车的隧道.货车能否顺利过隧道转化货车右上角的高度是否小于此位置抛物线的高度阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.水平宽h铅垂高BCAaABC1Sah2水平宽h铅垂高BCAaa1a2ABC1211Shaha22121h(aa)21ah2如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D.（1）直接写出A、B、C三点及抛物线顶点D坐标；(2)连结DC、DB，求△DCB的面积；（3)点P为抛物线在第一象限上的一个动点，连结CP、BP，设△BCP的面积为S，求当S取最大值时，点P的坐标.解(1)A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)，D(1,4).(2)过D作DE∥y轴，交BC于E.∵yBC=-x+3∴E(1,2)xyDCAOBEDCB1SBODE213223xyDCAOBP如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），