探索平行线题型的多角度解题策略(2)

问题情境已知：如图，∠B+∠D+∠E=360°求证：AB∥CD知识准备问题：平行线有哪些判定方法？1、平行于同一直线的两直线平行2、同位角相等，两直线平行3、内错角相等，两直线平行4、同旁内角互补，两直线平行解题策略1、问题中有几条线（直线、射线或线段）？4条；射线BA，DC和线段BE、DE.2、解决问题的障碍是什么？在图形中直接利用判定方法的条件不存在.3、解决问题需要添加什么条件？添加第三条平行线或者BA、DC之间的截线，从而生成利用判定方法的条件（角、平行线）4、怎样把已知条件中角的数量关系怎样转化为生成的内错角、同位角或同旁内角之间的数量关系？一般可以借助什么图形转化呢？1、借助特殊的角度：平角、周角、直角；2、借助三角形等多边形的内角和；3、借助新的平行线生成相等或互补的角构造辅助线的思路方法：构造平行线、垂线；构造三角形、多边形等方法作辅助线.辅助线构造方法一——平行线构造法图中共有三组不同方向的线（射线、线段），以及三个已知点，我们可以分别过已知点作不同射线或线段的平行线，生成ＡＢ、ＣＤ之间的内错角或同旁内角，或者与它们平行的第三条直线，构建ＡＢ和ＣＤ平行的判定条件，常见四种不同的构造方法：１、作射线ＥＦ，使ＥＦ∥ＡＢ２、同方法１反向作射线ＥＦ，使ＥＦ∥ＡＢ３、过Ｄ点作ＤＦ∥ＢＥ交ＢＡ反向延长线于Ｆ点４、过Ｂ点作ＢＦ∥ＤＥ交ＤＣ反向延长线于Ｆ点方法一证明：作射线ＥＦ，使ＥＦ∥ＡＢ∴∠ＢＥＦ＝∠Ｂ∵∠ＢＥＤ+∠Ｂ＋∠Ｄ=360°∴∠ＤＥＦ＝∠Ｄ∴ＥＦ∥ＣＤ∴ＡＢ∥ＣＤ注：这同一条辅助线还可以有另三种不同说法：１、作射线ＥＦ，使ＥＦ∥ＣＤ3、作射线ＥＦ，使∠DＥＦ＝∠D２、作射线ＥＦ，使∠ＢＥＦ＝∠Ｂ∠ＢＥＤ+∠ＢEF＋∠ＤEF=360°方法二证明：作射线ＥＦ，使ＥＦ∥ＡＢ∴∠ＢＥＦ+∠Ｂ=180°∵∠ＢＥＤ＝∠Ｂ＋∠Ｄ∴∠ＤＥＦ+∠Ｄ=180°∴ＥＦ∥ＣＤ∴ＡＢ∥ＣＤ注：这同一条辅助线还可以有另三种不同说法：１、作射线ＥＦ，使ＥＦ∥ＣＤ２、作射线ＥＦ，使∠ＢＥＦ+∠Ｂ=180°3、作射线ＥＦ，使∠DＥＦ+∠D=180°∠BEF+∠DEF+∠BED=360°方法三证明：过Ｄ点作ＤＦ∥ＢＥ交ＢＡ于Ｆ点，∴∠ABE=∠AFD∠E+∠EDF=180°∵∠ＢＥＤ+∠AＢE＋∠CDE=360°∴∠AFD+∠CDF=180°∴ＡＢ∥ＣＤ方法四证明：过Ｄ点作BＦ∥DＥ交CD于Ｆ点，∴∠CDE=∠BFC∠E+∠EBF=180°∵∠Ｅ+∠AＢE＋∠CDE=360°∴∠ABF+∠BFC=180°∴ＡＢ∥ＣＤ辅助线构造方法一——三角形构造法在三个已知点的基础上，通过延长或者连接线段构造三角形，从而借助三角形内角和或外角性质，同时生成ＡＢ、ＣＤ之间的截线，生成内错角或同旁内角，构建ＡＢ和ＣＤ平行的判定条件，常见有三种不同的构造方法：1、延长BE交CD于点F,构造了△DEF2、延长DE交AB于点F,构造了△BEF3、连接BD,构造了△BEF方法一证明：延长BE交DC反向延长线于点F∵∠BＥD＝∠EDF＋∠DFE∠B+∠BED＋∠CDE=360°∴∠ABF+∠ＢFD=180°∴ＡＢ∥ＣＤ∵∠CDE+∠EDF=180°∴∠B+∠EDF+∠EDF+∠CDE=360°方法二证明：延长DE交BA反向延长线于点F∴ＡＢ∥ＣＤ∵∠BＥD＝∠EBF＋∠BFE∠ABE+∠BED＋∠D=360°∴∠ABE+∠EBF+∠BFE+∠CDE=360°∵∠ABE+∠EBF=180°∴∠CDF+∠ＢFD=180°方法三证明：连接BD∵∠BＥD+∠AＢE＋∠CDE=360°∠BＥD+∠DBE＋∠BDE=180°∴∠ABD+∠BDC=180°∴ＡＢ∥ＣＤ方法四证明：过E点任作线段FG，分别交BA、DC反向延长线于F、G∴∠BFE+∠BEF＋∠DEG+∠DGE=360°∴ＡＢ∥ＣＤ∠ABE=∠BFE+∠BEF∵∠BEF+∠BED+∠DEG=180°∵∠ABE+∠BED+∠CDE=360°∠CDE=∠DGE+∠DEG∴∠BFG+∠DGF=180°辅助线构造方法三——垂线构造法图中共有三组不同方向的线（射线、线段），以及三个已知点，我们可以分别过已知点作不同射线或线段的垂线，生成ＡＢ、ＣＤ之间的截线，生成内错角或同旁内角，构建ＡＢ和ＣＤ平行的判定条件，同时也生成了三角形，常见有四种不同的构造方法：辅助线构造方法四——多边形构造法在三个已知点的基础上，通过连接AB、CD之间线段构造多边形，从而借助多边形内角和和平角或周角，同时生成ＡＢ、ＣＤ之间的截线，生成内错角或同旁内角，构建ＡＢ和ＣＤ平行的判定条件，常见有三种不同的构造方法：方法一证明：分别作AB、CD上F、G点，连接FG∵∠BFG+∠Ｂ＋∠BED+∠D+∠DGF=540°∠BED+∠B+∠D=360°∴ＡＢ∥ＣＤ∴∠BFG+∠DGF=180°方法二证明：分别作BA、DC反向延长线上F、G点，连接FG∵∠BFG+∠EBF＋优角∠BED+∠EDG+∠DGF=540°∠ABE+∠EBF=180°∴ＡＢ∥ＣＤ∠BFG＋∠DGF=180°∠CDE+∠EDG=180°∴∠EBF+∠EDG+优角∠BED=360°∠BED+∠ABE+∠CDE=360°问题还会有其他各种解法，仅此抛砖引玉！