初一数学三线八角与平行线

第1页共31页E65OADCB同位角内错角同旁内角与平行线课堂练习1、（1）如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝50°，求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数.解：∵∠BOD与∠AOC是对顶角∴＝＝°（）∵与是邻补角∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－50°＝130°∵与是对顶角∴∠BOC＝∠AOD＝130°（）（2）、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC.已知∠BOE=65°,求∠AOD、∠AOC的度数.（3）下列说法中正确的是（）A．有且只有一条直线垂直于已知直线。B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。C．互相垂直的两条直线一定相交。D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm。2．如图，计划把河水引到水池A中，先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是_________________________________________.3．如图，OA⊥OB，OC⊥OD．若∠AOD＝144°，则∠BOC＝______．4、如图，OA⊥OB，OC⊥OD，垂足均为O．则∠BOC＋∠AOD等于…………（）（A）150°（B）160°（C）170°（D）180°5．如图，如果D是BC的中点，那么B、C两点到直线AD的距离相等．试写出已知，求证，并补全图形（不证明）．一、三线八角1.中国最早的风筝据说是由古代哲学家墨翟制作的，风筝的骨架构成了多种关系的角。50OADCB第2题第3题第4题第5题第2页共31页a1a2a38765432187654321ABCDEa1a2a3876543212．讨论：两条直线和第三条直线相交的关系如图：两条直线a1,a2和第三条直线a3相交。a1a2a387654321其中直线a1与直线a3相交构成四个角，直线a2与直线a3相交构成四个角。所以这个问题我们经常就叫它“三线八角”问题。3.了解“三线八角”：如图：直线a1,a2被直线a3所截，构成了八个角。1）.观察∠1与∠5的位置：它们都在第三条直线a3的同旁，并且分别位于直线a1,a2的相同一侧，这样的一对角叫做“同位角”。类似位置关系的角在图中还有吗？如果有，请找出来？2）.观察∠3与∠5的位置：它们都在第三条直线a3的异侧，并且都位于两条直线a1,a2之间，这样的一对角叫做“内错角”。类似位置关系的角在图中还有吗？如果有，请找出来？3）.观察∠2与∠5的位置：它们都在第三条直线a3的同旁，并且都位于两条直线a1,a2之间，这样的一对角叫做“同旁内角”。例1：如图：请指出图中的同位角、内错角和同旁内角。例2：请找出以上各对关系角成立时的其余各对关系角。a1a2a387654321第3页共31页4321ABCFED1）.其中：∠1与∠5；∠4与∠6是直线和直线被直线所截得到的同旁内角。此时三线构成了个角。此时，同位角有：，内错角有：。2）.其中：∠1与∠A是直线和直线被直线所截得到的同旁内角。此时三线构成了个角。此时，同位角有：，内错角有：。3）.其中：∠5与∠A是直线和直线被直线所截得到的同旁内角。此时三线构成了个角。此时，同位角有：，内错角有：。4.练习1）.看图填空：（1）若ED，BC被AB所截，则∠1与是同位角。（2）若ED，BC被AF所截，则∠3与是内错角。（3）∠1与∠3是AB和AF被所截构成的角。（4）∠2与∠4是和被BC所截构成的角。2）.如下图：直线AB、CD被直线AC所截，所产生的内错角是。如下图：直线AD、BC被直线DC所截，产生了角，它们是。4321ADBC例2：如图：直线DE交∠ABC的边BA于F。如果内错角∠1与∠2相等，那么与∠1相等的角还有吗？与∠1互补的角有吗？如果有，请写出来，并说明你的理由。54321ABCDE二、平行线的判定------同位角相等，两直线平行例.判断下列语句是否正确，并说明理由．第4页共31页(1)．两条直线不相交，就叫平行线．(2)．与一条直线平行的直线只有一条．(3)．如果直线、都和平行，那么、就平行．1．请说出画两条平行线的方法：2．平行线的判定方法1：语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单地说：同位角相等，两直线平行。几何叙述：∵∠1＝∠2∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行）3．课堂练习：例1.已知直线l1，l2被l3所截，如图，∠1＝45°，∠2＝135°，试判断l1与l2是否平行.并说明理由.l3l1l2123ooABL1L2（图形的平移变换）抽象成几何图形AB21L1L2abc12若∠1＝∠2则bc12acb若a⊥b,b⊥c则acABCD123若∠∠则AD∥BCABCD123若∠1＝∠2则∥若=则AB∥DC第5页共31页课堂练习1．如图1，直线、被直线所截．（1）量得，，就可以判定，它的根据是什么？（2）量得，，就可以判定，它的根据是什么？2．如图2，是的延长线，量得．（1）从，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？（2）从，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？图1图23．如图3所示，由，可判断哪两条直线平行？由，可判断哪两条直线平行？4．如图4，已知，，吗？为什么？三、平行线的判定第6页共31页1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b。2、两条直线的位置关系（1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。（2）因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）（3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）3、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行如左图所示，∵b∥a，c∥a∴b∥c注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。5、如图，问21ll与平行的条件是什么?三线八角分为三类角，1）当同位角相等时，两直线平行，2）内错角或同旁内角具有什么关系时，也能判定两直线平行呢?内错角或同旁内角设法转化为利用同位角相等．6、判定方法1）判定方法二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则两条直线平行．几何语言的表述方法∵∠3=∠4∴AB∥CD（内错角相等，两条直线平行）例.○1∠1=121°，∠2＝120°，∠3＝120°。说出其中的平行线，并说明理由。②在左图中，直线AB与CD被直线EF所截，若∠2+∠4=180°，则AB与CD平行吗？EF4ABCD1321l2l123E4ABCD132EFGABCD132Habcabl12345678第7页共31页判定方法三：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则两条直线平行．几何语言的表述方法∵∠2+∠4=180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两条直线平行）例2．如图，∠C+∠A=∠AEC。判断AB与CD是否平行，并说明理由。例3如图∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=∠C，∠B=∠D，那么AB∥CD，AD∥BC．请说明理由。7、应用举例，变式练习1）、如图⑴∠1=∠A，则GC∥AB，依据是；⑵∠3=∠B，则EF∥AB，依据是；⑶∠2+∠A=180°，则DC∥AB，依据是；⑷∠1=∠4，则GC∥EF，依据是；⑸∠C+∠B=180°，则GC∥AB，依据是；⑹∠4=∠A，则EF∥AB，依据是；2）如图4，，，吗？3)．，当时，就能使．四、实数复习(一)、基础测试图4ACDBEACDBEFDABCABFEGDC1234第8页共31页1．算术平方根：如果一个正数x等于a，即x2=a，那么这个x正数就叫做a的算术平方根，记作，0的算术平方根是。2．平方根：如果一个数x的等于a,即x2=a那么这个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式），正数a的平方根记作．一个正数有平方根，它们；0的平方根是；负数平方根．特别提醒：负数没有平方根和算术平方根．3．立方根：如果一个数x的等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根，记作．正数的立方根是，0的立方根是，负数的立方根是。4、实数的分类_______________整数____________有限小数或循环小数______实数负分数____________________________________________5．实数与数轴：实数与数轴上的点______________对应．6．实数的相反数、倒数、绝对值：实数a的相反数为______；若a,b互为相反数，则a+b=______；非零实数a的倒数为_____(a≠0)；若a，b互为倒数，则ab=________。7.______(0)||______(0)aaa8.数轴上两个点表示的数，______边的总比___边的大；正数_____0，负数_____0，正数___负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而____。9．实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．2_______(0,0),_______(0,0).aabababb(二)、专题讲解：专题1平方根、算术平方根、立方根的概念若a≥0，则a的平方根是a，a的算术平方根a；若a0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是3a。【例1】16的平方根是______【例2】327的平方根是_________【例3】如果满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；第9页共31页(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．那么下列各式属于最简二次根式的是（）A．225x+1B.xyC.12D.0.5【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是（Ａ）020（Ｂ）331（Ｃ）93（Ｄ）235【例5】（2010年四川省眉山市）计算2(3)的结果是A．3B．3C．3D．9专题2实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含的数，如：12,2等，开方开不尽的数，如32,6等；特定结构的数，例0.010010001…等；某些三角函数，如sin60º，cos45º等。判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16是有理数，而不是无理数。【例1】在实数中－23，0，3，－3.14，4中无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例2】7是（）A．无理数B．有理数C．整数D．负数专题3非负数性质的应用若a为实数，则2,||,(0)aaaa均为非负数。非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个非负数都等于0。【例1】已知(x-2)2+|y-4|+6z=0，求xyz的值．【例2】中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。如果三角形三条边满足等式a2+b2=c2,那么这个三角形一定是直角三角形，并且是以二条较短边为直角边，以较长边为斜边的直角三角形。回答下面问题：已知3a，并且符号tan45=1,并且b,c还满足21(4tan45)302bbc，以a、b、c为边组成的三角形面积等于（）．A．6B．7C．8D．9专题4实数的比较大小(估算)正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方和0～10之间整数的立方．【例1】在-3，－3，－1，0这四个实数中，最大的是（）第10页共31页A.-3B.－3C.－1D.0【例2】二次根式1a中，字母a的取值范