特别解析：椭圆经典例题分类

1特别解析：椭圆经典例题分类题型一.椭圆定义的应用例1椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A为短轴端点时，2b，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．例2已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x轴上时，82ka，92b，得12kc．由21e，得4k．当椭圆的焦点在y轴上时，92a，82kb，得kc12．由21e，得4191k，即45k．∴满足条件的4k或45k．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8k与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．例3已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围．解：由,35,03,05kkkk得53k，且4k．∴满足条件的k的取值范围是53k，且4k说明：本题易出现如下错解：由,03,05kk得53k，故k的取值范围是53k．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0ba这个条件，当ba时，并不表示椭圆．例4已知1cossin22yx)0(表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围．分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出的取值范围．2解：方程可化为1cos1sin122yx．因为焦点在y轴上，所以0sin1cos1．因此0sin且1tan从而)43,2(．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin1，0cos1，这是容易忽视的地方．(2)由焦点在y轴上，知cos12a，sin12b．(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件0例5已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心03，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．题型二.焦半径及焦三角的应用例1已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF．求：21PFF的面积（用a、b、表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用CabSsin21求面积．解：如图，设yxP，，由椭圆的对称性，不妨设yxP，，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知：221FF2221PFPF12PF·224coscPF．①由椭圆定义知：aPFPF221②，则－①②2得：cos12221bPFPF．故sin212121PFPFSPFFsincos12212b2tan2b．3例2已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点．求1PFPA的最大值、最小值及对应的点P坐标；分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：如上图，62a，)0,2(2F，22AF，设P是椭圆上任一点，由6221aPFPF，22AFPFPA，∴26222211AFaAFPFPFPFPA，等号仅当22AFPFPA时成立，此时P、A、2F共线．由22AFPFPA，∴26222211AFaAFPFPFPFPA，等号仅当22AFPFPA时成立，此时P、A、2F共线．建立A、2F的直线方程02yx，解方程组4595,0222yxyx得两交点)2141575,2141579(1P、)2141575,2141579(2P．综上所述，P点与1P重合时，1PFPA取最小值26，P点与2P重合时，2PFPA取最大值26．题型三参数方程应用例1求椭圆1322yx上的点到直线06yx的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为.sincos3yx，设椭圆上的点的坐标为sincos3，，则点到直线的4距离为：263sin226sincos3d．当13sin时，22最小值d．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．例2(1)写出椭圆14922yx的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1)sin2cos3yx)(R．(2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设)sin2,cos3(为矩形在第一象限的顶点，)20(，则122sin12sin2cos34S，故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．例3椭圆12222byax)0(ba与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使APOP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围．分析：∵O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把APOP，转化为P点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是sincosbyax)0(ba，则椭圆上的点)sin,cos(baP，)0,(aA，∵APOP，∴1cossincossinaabab，即0coscos)(22222baba，解得1cos或222cosbab，∵1cos1∴1cos（舍去），11222bab，又222cab5∴2022ca，∴22e，又10e，∴122e．说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P使APOP．如何证明？题型四相交情况下--弦长公式的应用例1已知椭圆1422yx及直线mxy．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程mxy代入椭圆方程1422yx得1422mxx，即012522mmxx．020161542222mmm，解得2525m．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x，由（1）得5221mxx，51221mxx．根据弦长公式得：51025145211222mm．解得0m．方程为xy．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例2已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212xxxxkxxkAB求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121xxkAB]4))[(1(212212xxxxk．因为6a，3b，所以33c．因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为193622yx，左焦点)0,33(F，从而直线方程为93xy．6由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132xx．设1x，2x为方程两根，所以1337221xx，1383621xx，3k，从而1348]4))[(1(1212212212xxxxkxxkAB．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622yx，设mAF1，nBF1，则mAF122，nBF122．在21FAF中，3cos22112212122FFAFFFAFAF，即21362336)12(22mmm；所以346m．同理在21FBF中，用余弦定理得346n，所以1348nmAB．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132xx求出方程的两根1x，2x，它们分别是A，B的横坐标．再根据焦半径11exaAF，21exaBF，从而求出11BFAFAB题型五.相交情况下—点差法的应用例1已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线01yx交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222yax，由101222yaxyx，得021222xaxa，∴222112aaxxxM，2111axyMM，4112axykMMOM，∴42a，∴1422yx为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根7与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．例2已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k．解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为2121xky．代入椭圆方程，并整理得0232122212222kkxkkxk．由韦达定理得22212122kkkxx．∵P是弦中点，∴121xx．故得21k．所以所求直线方程为0342yx．分析二：设弦两端坐标为11yx，、22yx，，列关于1x、2x、1y、2y的方程组，从而求斜率：2121xxyy．解法二：设过2121，P的直线与椭圆交于11yxA，、22yxB，，则由题意得④1.③1②12①12212122222121yyxxyxyx，，，①－②得0222212221yyxx．⑤将③、④代入⑤得212121xxyy，即直线的斜率为21．所求直线方程为0342yx．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．例3已知椭圆1222