第七章：图像重建

第七章：图像重建7-1概述7-2傅立叶变换重建7-3卷积法重建7-4代数重建方法7-5重建的优化问题7-6图像重建中的滤波器设计7-7重建图像的显示7.1概述图像重建是图像处理中的一个重要分支，广泛的应用于物体内部结构图像的检测和观察中，它是一种无损检测技术。应用领域广泛，主要有：医疗、工业无损检测、核医学、电子显微、无线和雷达天文学、光显微、全息成像学以及理论视觉等等。图像重建的三种常用检测模型：投射模型、发射模型、反射模型（参照对照表）。重建算法：代数法、迭代法、傅立叶反投影法、卷积反投影法（运用最广泛，运算量小、速度快等优点）。7.1概述表一图像重建三种模式的对比表模型名称适用范围应用实例透射模型建立于能量通过物体后一部分能量会被吸收的基础上，遵循一定的吸收法则。光、X射线发射模型通过在相反的方向分解散射的两束γ射线来实现的，通过两束射线的度越时间来确定物体位置核磁共振反射模型通过能量反射来测定物体的表面特征光电子、雷达、超声波7.1概述图6—1图像重建的透射、反射、发射三种模式示意图补充（一）：投影重建概述概念：投影重建一般指利用物体的多个（轴向）投影图像重建目标图像的过程。它是一类特殊的图像处理方法，它输入的是（一序列）投影图，而输出的是重建图。通过投影重建就可以直接看到原来被投影物体某种特性的空间分布，比直接观察投影图要直观的多。应用实例：1、投射断层成像（transmissioncomputedtomography，TCT，简称CT）原理：从发射源射出的射线穿透物体到达接受器。补充（一）：投影重建概述（续）射线在通过物体时被物体吸收一部分，剩余部分被接受器接受。由于物体各部分对射线的吸收不同，所以接受器获得的射线强度实际上反映了物体各部分对射线的吸收情况。实例：CT，因为常用X射线，也称XCT。如果I0——射线源的强度；K（x）——沿射线方向物体点s的线性衰减系数L——辐射的射线I——穿透物体的射线强度则有0exp{()}LIIksds补充（一）：投影重建概述如果物体是均匀的，则：其中，I代表穿透物体后的射线强度，I0代表没有物体时射线强度，L是射线在物体内部的长度，k代表物体的线性衰减系数。2、发射断层成像（emissioncomputedtomography，ECT）原理：发射源在物体内部。一般是将具有放射性的离子注入物体内部，从物体外检测其放射出来的量。通过这种方法可以了解离子在物体内的运动情况和分布，从而可以检测到与生理有关的状况。0exp{}IIkL补充（一）：投影重建概述实例：PET(positronemissiontomography)、SPET(singlepositronemissionCT)。3、反射断层成像（reflectionCT，RCT）原理：利用能量的反射来测定物体的表面特性。实例：雷达系统，雷达发射器从空中向地面发射无线电波。雷达接收器在特定的角度所接受到的回波强度是地面反射量在一个扫描阶段的积分。补充（一）：投影重建概述如上图，在合成孔径雷达成像中，雷达是运动的而目标不动。设v——雷达沿y轴的运动速度；t——有效积累时间；λ——电波波长。两个目标沿雷达运动方向分布，目标A位于雷达孔径中心线上（x轴），目标B与目标A的位移量为d。雷达与目标A的最近距离为R，此时定义为时间零点，t=0。设在t=0前后距离的变化量为δR。当RδR时δR=(x-d)2/2R。补充（一）：投影重建概述在目标A处回波信号的双程（电波在天线和目标来回传播）超前相位为：在目标B处回波信号的双程超前相位为：如果发射信号足够的高，回波信号认为是连续的，此时对-T/2到T/2时间段积分来处理回波信号：设在积分时间内均匀发射，则目标B的回波响应为：22244()22AxvttRR24()(,)2BvtdtdRexp[(,)]Bjtd/22/24()exp[()]2TTjEdvtddtR7.2傅立叶变换重建它是一个最简单的重建方法，一个三维（或二维）物体，它的二维（或一维）投影的傅立叶变换恰好与此物体的傅立叶变换的主题部分相等，傅立叶变换的重建方法正是以此为基础的。方法：通过对投影进行旋转和部分傅立叶变换可以首先构造整个傅立叶变换的平面，然后再通过傅立叶反变换就可以得到重建后的物体。傅立叶变换重建原理：f（x,y）为一图像，则它的二维函数的傅立叶变换：dxdyvyuxjyxfvuF)](2exp[),(),(7.2傅立叶变换重建图x轴像在上的投影：投影的一维傅立叶变换：在二维傅立叶变换中，令v=0，则有：现在假设将函数投影到一条旋转角度为θ的直线上，如图示：dyyxfxgy),()(dxdyuxjyxfdxuxjxguyGy)2exp(),()2exp()()(dxdyuxjyxfuFuGy)2exp(),()0,()(7.2傅立叶变换重建图7—2投影几何关系7.2傅立叶变换重建定义旋转坐标：而将函数投影的直线选为x轴。投影点通过对距离t轴为S1处的一平行线进行函数积分，因此，该投影可如下表示：这里,积分路径是沿着直线s1=xcosθ+ysinθ进行。此投影的一维付氏变换为:展开后为：对指数进行变换，令：cossin,sincosyxtyxs1),(),(1sdsyxfsg111)2exp(),(),(dsrsjsgrGdxdyyxrjyxfrG)]sincos(2exp[),(),(sin,cosrvru7.2傅立叶变换重建因而,若点（u，v）在一条θ角一定而距原点距离为r的直线上，投影变换将与二维变换中的一直线有相同的傅氏变换，即:F(u,v)=G(r,θ)。因为投影变换G(r,θ)中的所有r和θ都是已知的，为了得到图像函数，我们进行反傅立叶变换，即：这就是图像的二维重建技术，同理可推广到三维情形（见课本p350页推导过程）。但是，若只有有限个投影是有效的，则可能需要在变换中插入一些数据。另外需要注意的是，虽然只须一维傅里叶变换的投影数据就可构成变换空间，但图像重建则需要二维反变换。由此得出结论，即：dudvvyuxjvuFyxf)](2exp[),(),(7.2傅立叶变换重建三维图像不能在得到部分投影数据过程中局部地重建，而必须延迟到所有投影数据都获得之后才能重建。（补充）傅立叶变换重建法是一种变换重建方法，变换重建方法主要包括以下三个步骤：1、建立数学模型，其中已知量和未知量都是连续实数的函数；2、利用反变换公式解未知量；3、调节反变换公式以适应离散、有噪声应用的需求。7.2傅立叶变换重建（补充）傅立叶变换投影定理：设G(R,θ)是g（s,θ）对应第一变量s的一维傅立叶变换，即：F（X，Y）是f（x，y）的二维傅立叶变换：那么有如下投影定理：即f（x，y）以θ角进行投影的傅立叶变换等于f（x，y）的傅立叶变换在傅立叶空间（R,θ）处的值。(,)(,)(,)exp(2)sGRgsjRsds(,)(,)exp[2()]QFXYfxyjxXyYdxdy(,)(cos,sin)GRFRR7.3卷积重建法（补充）逆投影原理：从各个方向得到的投影逆向返回到该方向的各个位置，如果对多个投影方向中的每个方向都进行这样的逆投影，就有可能建立平面上的一个分部。典型的方法是卷积逆投影重建。卷积重建法是一种变换重建法，可以根据傅立叶变换投影定理推出。按照二维傅立叶反变换标准定义，有作代换：，2()(,)(,)juxvyfxyFuvedudvcosuRsinvR7.3卷积重建法(续)写成級坐标(R,θ)形式：（7.1）利用傅立叶共轭对称性，有：（7.2）令：（7.3）则（7.2）可表示为：（7.4）22(cossin)00(,)(,)jxyfxyFReRdRd2(cossin)0(,)(,)||jxyfxyFReRdRd2(cossin)(,;)||(,)jxyfxyeRFRdR0(,)(,;)fxyfxyd7.3卷积重建法(续)在式(7.2)中，当用FFT计算投影数据的傅立叶变换F(R，θ)时，投影数据g(ρ，θ)总被有限截断。当ρ的采样间隔为d时，在变换域R的变化范围为-1/2d到1/2d，于是投影反变换重建公式可以近似写成：采用标记：（7.5）根据前式(7.3)，结合傅立叶投影定理可知：122(cossin)102(,)||(,)djRxydfxyRFRedRd1/221/2()||djRdhRedR7.3卷积重建法（续）1/22(cossin)1/21/222(cossin)1/21/22(cossin)1/2(,;)||(,)||[(,)](,)||(,)(cossin)djRxyddjRjRxyddjRxydfxyRFRedRRgeedRgRedRdghxyd7.3卷积重建法由上式可以得出，要实现对已经得到的投影数据实现图像重建，则可以采取两步：首先将投影数据和响应脉冲滤波器(7.5)进行卷积，然后由式(7.4)对不同旋转角θ求和，就能实现图像重建。这就是卷积法进行图像重建的基本思路和方法。卷积可看作一种滤波手段，卷积投影相当于对数据先滤波再将结果逆投影回来，这样可以使模糊得到校正。(,)g7.4代数重建方法列举一个简单实例（《数字图像处理与分析》P155）(补充)代数重建技术就是事先对未知图像的各像素给予一个初始估值，然后利用这些假设数据去计算各射线穿过对象时可能得到的投影值（射影和），再用它们和实测投影值进行比较，根据差异获得一个修正值，利用这些修正值，修正各对应射线穿过的诸像素值。如此反复迭代，直到计算值和实测值接近到要求的精确度为止。具体实施步骤：（l）对于未知图像各像素均给予一个假定的初始值，从而得到一组初始计算图像；7.4代数重建方法（2）根据假设图像，计算对应各射线穿过时，应得到的各个相应投影值Z1*,Z2*,……Zn*；（3）将计算值Z1*,Z2*,……Zn*和对应的实测值Z1,Z2,……Zn进行比较，然后取对应差值Zi－Zi*作为修正值；（4）用每条射线的修正值修正和该射线相交的诸像素值；（5）用修正后的象素值重复l～4各步，直到计算值和实测值之差，即修正值小到所期望的值为止。只要所测得的射线投影值Z1,Z2,……Zn组成一个独立的集合，那么代数重建便将收敛于唯一解。7.5重建的优化问题图像重建中的问题也可以通过选择一合理的准则函数来解决。此函数用来衡量真实图像与重建图像之间的差异，并且开发一种使此准则函数最小的解决方案。Kaskyap和Mittal于1975年巧妙地将重建问题转变成最小化(函数)问题，目前已有多种基于该准则的代数解决方案。考虑无噪声情况，把图像表达成列向量：Tn),.......ff,(ff2,17.5重建的优化问题考虑到投影射线是以相对于水平角度θk入射，如图所示，还应注意到P个这样的投影，其角度分别令gk是角度为θk时投影的向量值，显然，可以认为它有n个分量组成：将各角度的投影向量纵向排列,可得到pn个分量组成的向量：投影值假定为下述图像值得线性组合，则：7-712,,n,1,2,3,(,,,)Tkkkkknggggg123(,,,)Tnggggg(1),(1,2,;1,2,,)knlkljjDgfkpln7.5重建的优化问题7.5重建的优化问题区域Di（i=1