第3章 静定梁和静定刚架的受力分析

第3章静定梁和静定刚架的受力分析●本章教学基本要求：灵活运用隔离体平衡法（截面法）计算指定截面的内力；熟练掌握静定梁和静定平面刚架内力图的作法；了解空间刚架内力图绘制的方法。●本章教学内容的重点：绘制静定梁和静定平面刚架的内力图，这是本课程最重要的基本功之一。●本章教学内容的难点：用隔离体平衡法计算任一指定截面的内力；用区段叠加法绘弯矩图；根据弯矩图和所受荷载绘出剪力图和轴力图。●本章内容简介:3.1单跨静定梁3.2多跨静定梁3.3静定平面刚架*3.4静定空间刚架3.2多跨静定梁一、组成特点（构造分析）1、三种组成形式AABBCCDDEE(主)(最次)(再次)(次)2、基本部分和附属部分AAAABBBBCCCCDDDDEEEEFF(主)(主)(主)(主)(主)(次)(次)(次)(次)二、力的传递由附属部分向基本部分传递，且当基本部分受荷载时，附属部分无内力产生；当附属部分受荷载时，基本部分有内力产生。FPFP(主)(主)(主)(主)(次)(次)三、计算步骤采用分层计算法，其关键是分清主次，先“附”后“基”（计算反力和内力）。其步骤为：1)作层次图；2)计算反力；3)绘内力图；4)叠加(注意铰处弯矩为零)；5)校核(利用微分关系)。【例3-5】试求作图示多跨静定梁的内力图AAAAABBBBBCCCCCDDDDDEEEEEFFFFFFPFPFPFP/2FP/2FP3/2FP/2FP2aaa2aaFPaFPaFpa/2Fp/2Fp/2Fp++-M图FQ图【例3-6】试求图示多跨静定梁的内力图。AABBCCDDEEFFGGHH30kN20kN·m20kN/m2m1m1m1m1m1m1m30kN20kN·m20kN/m20kN/m10kN10kN10kN100010kN101030kN20kN20kN·m1010kN·m1001010ABCDEFGH10101010101010M图(kN·m)10102030ABCDEHHFDFQ图(kN)20kN/m2m10kN·m10kN·m30kN10kN【例3-7】试求作图示多跨静定梁铰E和铰F的位置，使中间跨的支座负弯矩MB和MC与跨中正弯矩M2的绝对值相等。ABCDEFAEBCDFFEEFBCl－xl－xlxx2xlq2xlqMBMCM2qqqABCDEFAEBCDFFEEFBCl－xl－xlxx2xlq2xlqMBMCM2qqq|MB|+M2=ql2/8，222qxxxlqMMCB因为按题意，要求|MB|=|MC|=M2ABCDEFAEBCDFFEEFBCl－xl－xlxx2xlq2xlqMBMCM2qqq亦即2|MB|=ql2/8，于是可得将式(b)代入式(a)，解出x=0.125l162qlMB(b)与三跨跨度为l的简支梁比较可知，其跨中正弯矩将减小一些。3.3静定平面刚架一、刚架的特点1、构造特点：一般由若干梁、柱等直杆组成且具有刚结点的结构，称为刚架。杆轴及荷载均在同一平面内且无多余约束的几何不变刚架，称为静定平面刚架；不在同一平面内无多余约束的几何不变刚架，称为静定空间刚架。2、力学特性：刚结点处夹角不可改变，且能承受和传递全部内力（M、FQ、FN）。3、刚架优点：内部空间较大，杆件弯矩较小，且制造比较方便。因此，刚架在土木工程中得到广泛应用。二、静定平面刚架的组成形式a)悬臂刚架b)简支刚架c)三铰刚架d)多跨刚架e)多层刚架三、静定平面刚架内力图的绘制静定平面刚架的内力图有弯矩图、剪力图和轴力图。静定平面刚架内力图的基本作法是杆梁法，即把刚架折成杆件，其内力计算方法原则上与静定梁相同。通常是先由刚架的整体或局部平衡条件，求出支座反力或某些铰结点处的约束力，然后用截面法逐杆计算各杆的杆端内力，再利用杆端内力按照静定梁的方法分别作出各杆的内力图，最后将各杆内力图合在一起，就得到刚架的内力图。【说明1】一般可按M图－FQ图－FN图的顺序绘制内力图。1)关于M图的绘制：对于每个杆件而言，实际上是分别应用一次区段叠加法（“一求控制弯矩，二引直线相连，三迭简支弯矩”）。2)关于FQ图的绘制：当M图为直线变化时，可根据微分关系，由M图“下坡”或“上坡”的走向（沿杆轴由左向右看）及其“坡度”的大小，直接确定FQ的正负和大小（如前所述）；当M图为二次抛物线变化时，可取该杆段为隔离体，化为等效的简支梁，根据杆端的已知M及跨间荷载，利用力矩方程，求杆端剪力值。3)关于FN图的绘制：对于比较复杂的情况，可取结点为隔离体，根据已知FQ，利用投影方程，求杆件轴力值。三、静定平面刚架内力图的绘制【说明2】刚架的M图约定绘在杆件受拉一侧，不标注正负号；FQ图和FN图可绘在杆件的任一侧，但必须标注正负号，其符号规定与梁相同。【说明3】关于简单刚结点的概念：两杆刚结点，称为简单刚结点。当无外力偶作用时，汇交于该处两杆的杆端弯矩坐标应绘在结点的同一侧(内侧或外侧)，且数值相等。作M图时，可充分利用这一特性。三、静定平面刚架内力图的绘制【例3-8】试求作图示刚架的内力图。解：(1)求支反力（2）求作M图FPFP4PF4PFl/2l/2llAABBCCDD4PlF4PlFM图B4PlFMBC(求)4PlFCMCB(求)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®（3）求作FQ图（4）求作FN图AABBCCDDBFPFP/4FP/4FP/4FPFPFP/4FQ图FN图FNAB(求)FNBC(求)【例3-9】试求作图示简支刚架的内力图。①杆AE：MAE=MEA=0解：(1)求支反力(2)求作M图1)一求控制弯矩：②杆EC：MEC=0，MCE=4×2=8kN·m(左侧受拉)③杆BD：MBD=0，MDB=4×4=16kN·m(右侧受拉)④杆DF：MFD=0，MDF=(2×2)+(×10×22)=24kN·m(上侧受拉)10kN/m2kN20kN·m4kN4m2m2m2mABCDEFC20kN·m8kN·mFBx=4kNFAy=17kNFBy=45kND16kN·m24kN·mMDC(求)MCD(求)MCD=20+8=28kN·m(“箭尾”侧即上侧受拉)⑤杆CD：利用结点C和D隔离体(图3-24b、c)的力矩平衡条件，可求出杆CD两端二控制截面的弯矩为MDC=24+16=40kN·m(“箭尾”侧即上侧受拉)10kN/m2kN20kN·m4kN4m2m2m2mABCDEFC20kN·m8kN·mFBx=4kNFAy=17kNFBy=45kND16kN·m24kN·mMDC(求)MCD(求)2)二引直线相连3)三叠简支弯矩4kNAABBCCCDDDEEFF10kN/m2kN20kN·m20kN·m2m2m2m4mFAy=17kNFBy=45kNFBx=4kN8kN·mMCD(求)24kN·m16kN·mMDC(求)244082816M图(kN·m)(20)(5)（3）求作FQ图（4）求作FN图45kN17kN4kN4kN2kN10kN/m20kN·m222321744FQ图(kN)4m2m2m2m45174FN图(kN)288402416M图(kN·m)(20)(5)【例3-10】试求作图3-25所示悬臂刚架的内力图。解：(1)求支反力(2)求作M图1)CD段MDC=MCE=2qa2(左侧受拉)；二引直线相连。2)DB段MBD=6qa×2a-2qa2=10qa2(上侧受拉)MDB=2qa2(下侧受拉)ABCDE2qa26qaq2qaF8qa10qa14qa22a2a4a4a3a3)BE段MBE=(q×4a)×2a=8qa2MEB=04)AB段MAB=14qa2(左侧受拉)，MBA=8qa×4a-14qa2-(2q×4a)×2a=2qa2（右侧受拉）2qa22qa22qa214qa28qa210qa26qa24qa22qa2(2qa2)M图ABCDE(3)求作FQ图：参照M图绘FQ图。MDC=2qa2CDMBD=10qa22qa22qa26qaCDBFFQDCFQBDMBE=8qa2FQBE=3.2qaFNBE=-2.4qaaBEx′y′q14qa28qa10qa2qa2FQBA=0AB6qaCDBAE8qa3.2qaFQ图F(4)求作FN图CDBAE10qa2.4qaFN图【例3-11】试对图示静定结构给出的弯矩图，标出相应的荷载。AABBCCDDEE6610124m4m6m6m1066B2M图(kN·m)2kN·m3.5kN0.5kN3kN相应荷载【例3-12】试求作图示三铰刚架的内力图。解：(1)求支反力1)由刚架整体平衡条件，建立三个静力平衡方程：∑MB=0，83qlFAy∑Fy=0，8qlFBy2)取刚架右半部分CEB为隔离体，补充∑MC=0，028lqllFBx16qlFBx16qlFAx由此得于是有ABCDEl/2l/2l83qlFAy16qlFAx16qlFBx8qlFByIIII16qlFBx8qlFByBCEFQCEFNCEq(2)求作M、FQ、FN图AAAABBBBCCCCDDDDEEEE16qlFAx16qlFBxqFAy=3ql/8FBy=ql/8ql2/16ql2/16l/2l/2l(ql2/32)DCqql2/16l/2M图ql/16ql/163ql/8ql/83ql/8ql/8FQ图FN图16ql83ql8qll/4【例3-13】试求作图3-30a所示带斜杆三铰刚架的内力图。解：(1)求支反力(2)求作M图FQDCFQCD4.47mFNDC51.09FQDCFQCD4.47mFNDC51.094/cosa=4.474mAABBCCDDEE4m4m4m2m2maFAx=11.43kNFAy=62.86kNFBx=11.43kNFBy=17.14kN20kN/mcosa=0.894sina=0.44768.5845.72M图(kN·m)(40)(3)求作FQ图由∑MC=0，得取杆DC为隔离体kN09.51447.4242058.682QDCF由∑MD=0，得kN43.20447.4242058.682QCDFFQDCFQCD4.47mFNDC51.09DC68.58kN·m20kN/m51.920.4310.2220.43FNCD38.3417.90FNCE10.2211.4311.43FQ图(kN)(4)求作FN图1)取图示隔离体，由∑Fx=0，可得FNDC×0.894+51.09×0.447+11.43=0FNDC=-38.34kN2)取图示隔离体，由∑Fx=0，可得FNCD×0.894-20.43×0.447+11.43=0FNCD=-2.58kNFQDCFQCD4.47mFNDC51.0911.43kN62.86kNDaax51.920.4310.2220.43FNCD38.3417.90FNCE10.22DC20kN/m11.43kN62.86kNxa3)取图示隔离体，由∑Fx=0，可得FNCE×0.894+10.22×0.447+11.43=0FNCE=-17.90kN51.920.4310.2220.43FNCD38.3417.90FNCE10.22E11.43kN17.14kNxa51.920.4310.2220.43FNCD38.3417.90FNCE10.222.5862.8617.14ABCDEFN图(kN)【例3-14】试绘出图示静定结构在荷载作用下的弯矩图轮廓。112233445566778899101011111212131314141515161617171818【例3-15】试求作图示刚架的弯矩图(不求支反力)。ABCDEFGHIFPFPFPaaa/2a/2a/2a/2FPaFPaFPaFPaFPaFPaFPaFPaM图【例3-16】试求作图示多跨刚架的弯矩图。此刚架为三跨静定刚架，由基本部分ACBD和附属KIH组成。将刚架在铰G和K处拆开，分别画出附属部分和基本部分隔离体受力图，如图3-33b所示。ABC