第4章 大数定律与中心极限定理

第四章大数定律与中心极限定理1March2020第1页§4.1特征函数§4.2大数定律§4.3随机变量序列的两种收敛性§4.4中心极限定理第四章大数定律与中心极限定理第四章大数定律与中心极限定理1March2020第2页§4.1特征函数特征函数是处理概率论问题的有力工具，其作用在于：可将卷积运算化成乘法运算；可将求各阶矩的积分运算化成微分运算；可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题；……….第四章大数定律与中心极限定理1March2020第3页4.1.1特征函数的定义定义4.1.1设X是一随机变量，称(t)=E(eitX)为X的特征函数.(必定存在)注意：1i是虚数单位.第四章大数定律与中心极限定理1March2020第4页注意点(1)(1)当X为离散随机变量时，(2)当X为连续随机变量时，1()kitxkkept()d()itxepxxt这是p(x)的傅里叶变换第四章大数定律与中心极限定理1March2020第5页特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：注意点(2)(1)欧拉公式：cos()sin()itxetxitx(2)复数的共轭：abiabi(3)复数的模：22abiab第四章大数定律与中心极限定理1March2020第6页性质4.1.14.1.2特征函数的性质|(t)|(0)=1性质4.1.2()()tt性质4.1.3()()ibtXaXbteat性质4.1.4若X与Y独立，则()()()XYXYttt性质4.1.5()()(0)kkkiEX第四章大数定律与中心极限定理1March2020第7页定理4.1.1特征函数的定理一致连续性.定理4.1.2定理4.1.3定理4.1.4唯一性.定理4.1.5非负定性.逆转公式.连续场合，1()d2()itxettpx第四章大数定律与中心极限定理1March2020第8页§4.2大数定律讨论“概率是频率的稳定值”的确切含义；给出几种大数定律：伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.第四章大数定律与中心极限定理1March2020第9页4.2.1伯努利大数定律定理4.2.1（伯努利大数定律）设n是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中P(A)=p,则对任意的0，有lim1nnPpn第四章大数定律与中心极限定理1March2020第10页4.2.2常用的几个大数定律大数定律一般形式：若随机变量序列{Xn}满足：1111()lim1nniiiinXEXnnP则称{Xn}服从大数定律.第四章大数定律与中心极限定理1March2020第11页切比雪夫大数定律定理4.2.2{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共同的上界，则{Xn}服从大数定律.证明用到切比雪夫不等式.第四章大数定律与中心极限定理1March2020第12页马尔可夫大数定律定理4.2.3若随机变量序列{Xn}满足：则{Xn}服从大数定律.211Var0niiXn(马尔可夫条件)第四章大数定律与中心极限定理1March2020第13页辛钦大数定律定理4.2.4若随机变量序列{Xn}独立同分布，且Xn的数学期望存在。则{Xn}服从大数定律.第四章大数定律与中心极限定理1March2020第14页(1)伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例.注意点(2)切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.(3)伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.第四章大数定律与中心极限定理1March2020第15页§4.3随机变量序列的两种收敛性两种收敛性：i)依概率收敛：用于大数定律；ii)按分布收敛：用于中心极限定理.第四章大数定律与中心极限定理1March2020第16页4.3.1依概率收敛定义4.3.1(依概率收敛)PnYY大数定律讨论的就是依概率收敛.lim1nnPYY若对任意的0，有则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y,记为第四章大数定律与中心极限定理1March2020第17页依概率收敛的性质定理4.3.1若,PnXaPnYb则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除依概率收敛到a与b的加、减、乘、除.第四章大数定律与中心极限定理1March2020第18页4.3.2按分布收敛、弱收敛对分布函数列{Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.定义4.3.2若在F(x)的连续点上都有lim()()nnFxFx则称{Fn(x)}弱收敛于F(x)，记为()()WnxFFx相应记LnXX按分布收敛第四章大数定律与中心极限定理1March2020第19页依概率收敛与按分布收敛的关系定理4.3.2PLnnXXXX定理4.3.3PLnnXaXa第四章大数定律与中心极限定理1March2020第20页4.3.3判断弱收敛的方法定理4.3.4()()nXXttLnXX第四章大数定律与中心极限定理1March2020第21页辛钦大数定律的证明思路欲证:11nniiPXanY只须证：()()nYatt第四章大数定律与中心极限定理1March2020第22页§4.4中心极限定理讨论独立随机变量和的极限分布,本指出极限分布为正态分布.4.4.1独立随机变量和设{Xn}为独立随机变量序列，记其和为1niinYX第四章大数定律与中心极限定理1March2020第23页4.4.2独立同分布下的中心极限定理定理4.4.1林德贝格—勒维中心极限定理设{Xn}为独立同分布随机变量序列，数学期望为,方差为20，则当n充分大时，有1lim()niinXnnPyy应用之例:正态随机数的产生；误差分析第四章大数定律与中心极限定理1March2020第24页例4.4.1每袋味精的净重为随机变量，平均重量为100克，标准差为10克.一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?解:设箱中第i袋味精的净重为Xi,则Xi独立同分布，且E(Xi)=100，Var(Xi)=100，由中心极限定理得，所求概率为：200120500200100205001200100iiPX1(3.54)=0.0002故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002.(很小)第四章大数定律与中心极限定理1March2020第25页例4.4.2设X为一次射击中命中的环数，其分布列为求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.XP1098760.80.10.050.020.03解:设Xi为第i次射击命中的环数，则Xi独立同分布，且E(Xi)=9.62，Var(Xi)=0.82，故10019301009.629001009.629009301000.821000.82iiPX(3.53)(6.85)=0.99979第四章大数定律与中心极限定理1March2020第26页4.4.3二项分布的正态近似定理4.4.2棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理设n为服从二项分布b(n,p)的随机变量，则当n充分大时，有lim()nnnpnpqPyy是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.第四章大数定律与中心极限定理1March2020第27页二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作如下修正：注意点(1)1212210.50.50.50.5nnPkkPkkknpknpnpqnpq第四章大数定律与中心极限定理1March2020第28页中心极限定理的应用有三大类：注意点(2)ii)已知n和概率，求y；iii)已知y和概率，求n.i)已知n和y，求概率；第四章大数定律与中心极限定理1March2020第29页一、给定n和y，求概率例4.4.3100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i个部件正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+…+X100，则E(Y)=90，Var(Y)=9.1850.590{85}0.9669.PY第四章大数定律与中心极限定理1March2020第30页二、给定n和概率，求y例4.4.4有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台机床工作时需15kw电力.问共需多少电力,才可有95%的可能性保证正常生产?解：用设供电量为y,则从Xi=1表示第i台机床正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+…+X200，则E(Y)=140，Var(Y)=42./150.5140{15}0.9542yPYy2252.y中解得第四章大数定律与中心极限定理1March2020第31页三、给定y和概率，求n例4.4.5用调查对象中的收看比例k/n作为某电视节目的收视率p的估计。要有90％的把握，使k/n与p的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？解：用根据题意Yn表示n个调查对象中收看此节目的人数，则20.90/0.050.05/(1)1nPYnpnpp0.05/(1)1.645npp从中解得Yn服从b(n,p)分布，k为Yn的实际取值。又由0.25(1)pp可解得270.6nn=271第四章大数定律与中心极限定理1March2020第32页例4.4.6设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率.解:设X表示命中的炮弹数,则X~b(500,0.01)55495500(1)(5)0.010.99PXC＝0.17635(2)应用正态逼近:P(X=5)=P(4.5X5.5)5.554.554.954.95=0.1742第四章大数定律与中心极限定理1March2020第33页4.4.4独立不同分布下的中心极限定理定理4.4.3林德贝格中心极限定理设{Xn}为独立随机变量序列，若任对0，有22211()()d0liminnxBniniixpxxB11()lim()niiinnXBPyy林德贝格条件则第四章大数定律与中心极限定理1March2020第34页李雅普诺夫中心极限定理定理4.4.4李雅普诺夫中心极限定理设{Xn}为独立随机变量序列，若存在0，满足：21210limninniiBEX11()lim()niiinnXBPyy李雅普诺夫条件则林德贝格条件较难验证.第四章大数定律与中心极限定理1March2020第35页例4.4.7设X1,X2,….,X99相互独立,且服从不同的0--1分布试求解:设X100,X101,….相互独立,且与X99同分布,则可以验证{Xn}满足=1的李雅普诺夫条件，且99991149.56049.56012.57350.00516.66516.665iiiiXPXP11,100iiiPXp99160iiXP99991149.5,16.665,iiiiEXVarX由此得