[压轴]高考数学复习导数大题精选10题-附详细解答

高考压轴导数大题例1.已知函数3211()32fxxaxbx在区间[11)，，(13]，内各有一个极值点．（I）求24ab的最大值；（II）当248ab时，设函数()yfx在点(1(1))Af，处的切线为l，若l在点A处穿过函数()yfx的图象（即动点在点A附近沿曲线()yfx运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数()fx的表达式．例3已知函数cos163cos3423xxxf，其中,Rx为参数，且20．（1）当时0cos，判断函数xf是否有极值；（2）要使函数()fx的极小值大于零，求参数的取值范围；例4．已知函数32()fxaxbxcx在点0x处取得极大值5，其导函数'()yfx的图象经过点(1,0)，(2,0).求：（Ⅰ）0x的值；（Ⅱ）,,abc的值.例5设3x是函数Rxebaxxxfx32的一个极值点.（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求xf的单调区间；（Ⅱ）设0a，xeaxg4252.若存在4,0,21使得121gf成立，求a的取值范围例6已知函数321()(2)13fxaxbxbx在1xx处取得极大值，在2xx处取得极小值，且12012xx．（1）证明0a；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。1.已知函数21()22fxaxx，()gxlnx.（Ⅰ）如果函数()yfx在[1,)上是单调增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数0a，使得方程()()(21)gxfxax在区间1(,)ee内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．2.如果0xf是函数xf的一个极值，称点00,xfx是函数xf的一个极值点.已知函数00axebaxxfxa且（1）若函数xf总存在有两个极值点BA,，求ba,所满足的关系；（2）若函数xf有两个极值点BA,，且存在Ra，求BA,在不等式1x表示的区域内时实数b的范围.（3）若函数xf恰有一个极值点A，且存在Ra，使A在不等式eyx1表示的区域内，证明：10b.3已知函数3221()ln,()3(,,R)32fxxxgxxaxbxcabc.(1)若函数()()()hxfxgx是其定义域上的增函数，求实数a的取值范围；(2)若()gx是奇函数，且()gx的极大值是3()3g，求函数()gx在区间[1,]m上的最大值；(3)证明：当0x时，12()1xfxeex.4已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f(x)＝13x3－12ax2＋ax．(Ⅰ)当a＝2时，求f(x)的极小值；(Ⅱ)若函数g(x)＝x3＋bx2－(2b＋4)x＋lnx(b∈R)的极小值点与f(x)的极小值点相同．求证：g(x)的极大值小于等于5/4例1解（I）因为函数3211()32fxxaxbx在区间[11)，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()fxxaxb0在[11)，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12xx，（12xx），则2214xxab，且2104xx≤．于是2044ab≤，20416ab≤，且当11x，23x，即2a，3b时等号成立．故24ab的最大值是16．（II）解法一：由(1)1fab知()fx在点(1(1))f，处的切线l的方程是(1)(1)(1)yffx，即21(1)32yabxa，因为切线l在点(1())Afx，处空过()yfx的图象，所以21()()[(1)]32gxfxabxa在1x两边附近的函数值异号，则1x不是()gx的极值点．而()gx321121(1)3232xaxbxabxa，且22()(1)1(1)(1)gxxaxbabxaxaxxa．若11a，则1x和1xa都是()gx的极值点．所以11a，即2a，又由248ab，得1b，故321()3fxxxx．解法二：同解法一得21()()[(1)]32gxfxabxa2133(1)[(1)(2)]322axxxa．因为切线l在点(1(1))Af，处穿过()yfx的图象，所以()gx在1x两边附近的函数值异号，于是存在12mm，（121mm）．当11mx时，()0gx，当21xm时，()0gx；或当11mx时，()0gx，当21xm时，()0gx．设233()1222aahxxx，则当11mx时，()0hx，当21xm时，()0hx；或当11mx时，()0hx，当21xm时，()0hx．由(1)0h知1x是()hx的一个极值点，则3(1)21102ah，所以2a，又由248ab，得1b，故321()3fxxxx．例3解（Ⅰ）当cos0时，3()4fxx，则()fx在(,)内是增函数，故无极值.（Ⅱ）2'()126cosfxxx，令'()0fx，得12cos0,2xx.由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.①当cos0时，随x的变化'()fx的符号及()fx的变化情况如下表：x(,0)0cos(0,)2cos2cos(,)2'()fx+0-0+()fx↗极大值↘极小值↗因此，函数()fx在cos2x处取得极小值cosf()2，且3cos13()cos2416f.要使cos()02f，必有213cos(cos)044，可得30cos2.由于30cos2，故3116226或.②当时cos0，随x的变化，'()fx的符号及()fx的变化情况如下表：xcos(,)2cos2cos(,0)20(0,)'()fx+0-0+()fx极大值极小值因此，函数()0fxx在处取得极小值(0)f，且3(0)cos.16f若(0)0f，则cos0.矛盾.所以当cos0时，()fx的极小值不会大于零.综上，要使函数()fx在(,)内的极小值大于零，参数的取值范围为311(,)(,)6226.例4解法一：（Ⅰ）由图像可知，在,1上'0fx，在1,2上'0fx，在2,上'0fx,故()fx在（-，1），（2，+）上递增，在(1,2)上递减，因此fx在1x处取得极大值，所以01x（Ⅱ）'2()32,fxaxbxc由'''fff（1）=0，（2）＝0，（1）＝5，得320,1240,5,abcabcabc解得2,9,12.abc解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设'2()(1)(2)32,fxmxxmxmxm又'2()32,fxaxbxc所以3,,232mabmcm32|3()2,32mfxxmxmx由(1)5f，即325,32mmm得6,m所以2,9,12abc例5解（Ⅰ）f`(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a]e3－x,由f`(3)=0，得－[32＋(a－2)3＋b－a]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，则f`(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a]e3－x＝－[x2＋(a－2)x－3－3a]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.令f`(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a≠－4.当a－4时，x23＝x1，则在区间（－∞，3）上，f`(x)0，f(x)为减函数；在区间（3，―a―1）上，f`(x)0，f(x)为增函数；在区间（―a―1，＋∞）上，f`(x)0，f(x)为减函数.当a－4时，x23＝x1，则在区间（－∞，―a―1）上，f`(x)0，f(x)为减函数；在区间（―a―1，3）上，f`(x)0，f(x)为增函数；在区间（3，＋∞）上，f`(x)0，f(x)为减函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a0时，f(x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[min(f(0)，f(4))，f(3)]，而f(0)＝－（2a＋3）e30，f(4)＝（2a＋13）e－10，f(3)＝a＋6，那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].又225()()4xgxae在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋425，（a2＋425）e4]，由于（a2＋425）－（a＋6）＝a2－a＋41＝（21a）2≥0，所以只须仅须（a2＋425）－（a＋6）1且a0，解得0a23.故a的取值范围是（0，23）.例6解（Ⅰ）由函数()fx在1xx处取得极大值，在2xx处取得极小值，知12xx，是()0fx的两个根．所以12()()()fxaxxxx当1xx时，()fx为增函数，()0fx，由10xx，20xx得0a．（Ⅱ）在题设下，12012xx等价于(0)0(1)0(2)0fff即202204420babbabb．化简得203204520babab．此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：203204520babab，，．所围成的ABC△的内部，其三个顶点分别为：46(22)(42)77ABC，，，，，．z在这三点的值依次为16687，，．所以z的取值范围为1687，．1解：（Ⅰ）当0a时，()2fxx在[1,)上是单调增函数，符合题意．当0a时，()yfx的对称轴方程为2xa，由于()yfx在[1,)上是单调增函数，所以21a，解得2a或0a，所以0a．当0a时，不符合题意．综上，a的取值范围是0a．（Ⅱ）把方程()()(21)gxfxax整理为2(21)lnxaxax，即为方程2(12)0axaxlnx.设2()(12)Hxaxaxlnx(0)x，ba2124O4677A，(42)C，(22)B，原方程在区间(1,ee)内有且只有两个不相等的实数根,即为函数()Hx在区间(1,ee)内有且只有两个零点.1()2(12)Hxaxax22(12)1(21)(1)axaxaxxxx令()0Hx，因为0a，解得1x或12xa（舍）当(0,1)x时,()0Hx,()Hx是减函数；当(1,)x时,()0Hx，()Hx是增函数.()Hx在(1,ee)内有且只有两个不相等的零点,只需min1()0,()0,()0,HeHxHe即2222212(12)10,(1)(12)10,(12)1(2)(1)0,aaaeaeeeeHaaaaeaeeeae∴22,211,1,2eeaeaeaee解得2121eeae,所以a的取值范围是(21,21eee)．2（1）xaxaexabaxeaxf))(()('2令0fx得20xaxb240ab又00ax且204abb且（2）20xaxb在(1,1)有两个不相等的实根.即2401121010abaabab