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如图，已知D是△ABC内一点，试说明AB+AC＞BD+CD证明：延长BD交AC于E在△ABC中，AB+AE＞BE,即AB+AE＞BD+DE……①在△DEC中,DE+EC＞DC……②①+②，得（AB+AE）+（DE+EC）＞（BD+DE）+CD即AB+（AE+EC）+DE＞（BD+DE）+CD即AB+AC+DE＞BD+DE+CD∴AB+AC＞BD+CD如图，△ABC中，D是BC的中点，求证：（1）AB+AC＞2AD（2）若AB=5,AC=3，求AD的范围。(1)延长AD到点G,使DG=AD.连接BG在△CDA和△BDE中AD=GD,∠ADC=∠GDB∵D是BC的中点∴CD=BD∴△CDA≌△BDG.∴BG=AC在△ABG中,AB+BG=AB+BCAG=2AD因为三角形两边和大于第三边,所以AB+BE＞AG∴AB+BC＞2AD(2)AB-AC＜2AD＜AB+AC2＜2AD＜81＜AD＜4DCBAEABCDGH如图，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，点F为DE的中点，求证：BC=2AF.延长AF到点G,使AF=DF.连接GD在△AFE和△DFG中AF=GF,∠AFE=∠DFG∵点F为DE的中点∴DF=EF所以△AFE≌△DFG.(SAS)GD=AE=AC;∠G=∠FAE.∴DG∥AE.(内错角相等,两直线平行)则∠GDA+∠DAE=180°.(两直线平行,同旁内角互补）又∵∠BAC+∠DAE=180°.∴∠GDA=∠BAC.(同角的补角相等).又∵AD=AB.∴⊿ADG≌⊿BAC(SAS)∴AG=BC,即2AF=BC.∴BC=2AF.如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA求证：AE=2AD证明：在AD的延长线上取点F,使AD＝FD,连接CF∵AD是中线∴BD＝CD,AD＝FD,∠ADB＝∠FDC∴△ABD≌△FCD（SAS）∴CF＝AB,∠B＝∠FCD∵∠ACF＝∠BCA+∠BCE,∠ACE＝∠BAC+∠B,∠BAC＝∠BCA∴∠ACF＝∠ACEBDEGFCAFECDBA∵CE＝AB∴CE＝CF∴△ACE≌△ACF（SAS）∴AE＝AF∵AF＝AD+FD＝2AD∴AE＝2AD如图，△ABC中，∠ABC=90°，AC=CE,BC=CD,∠ACE=∠BCD=90°，BC的延长线交DE于F。（1）求证:EF=DF（2）求证:S△ABC=S△DCE证明：①作EG⊥BF,交BF延长线于G则∠CGE=∠ABC=90°∵∠ACE=90°∴∠ACB+∠ECG=90°∵∠ACB+∠BAC=90°∴∠ECG=∠BAC又∵AC=EC∴△ABC≌△CGE（AAS）∴BC=EG∵BC=CD∴EG=CD∵∠BCD=90°∴∠DCF=90°=∠EGF又∵∠CFD=∠GFE（对顶角相等）,CD=EG∴△CFD≌△GFE（AAS）EGCDBAF∴EF=DF②∵△CFD≌△GFE∴S△CFD=S△GFE∴S△CFD+S△CFE=S△GFE+S△CFE即S△DCE=S△CGE∵△ABC≌△CGE∴S△ABC=S△CGE∴S△ABC=S△DCE如图，在△ABC，△DEF中，AM,DN分别是两三角形中线，AB=DE,AC=DF,AM=DN.求证：△ABC≌△DEF证明：如图，延长AM至A′，使A′M=AM延长DN至D′，使D′N=DN连接A′C、D′F∵AM是△ABC的中线∴BM=MC在△ABM和△A′CM中BM＝MC∠AMB＝∠A′MCAM＝A′M∴△ABM≌△A′CM（SAS）∴AB=A′C，同理可得DE=D′F∵AB=DE，∴A′C=D′F∵AM=DN，AA′=2AM，DD′=2DN∴AA′=DD′，在△AA′C和△DD′F中，AC＝DFAA′＝DD′A′C＝D′F∴△AA′C≌△DD′F（SSS）∴∠A′=∠D′，在△A′MC和△D′NF中，A′M＝D′N∠A′＝∠D′A′C＝D′F∴△A′MC≌△D′NF（SAS）BAMCA′DED′FN，∴MC=NF∵AM、DN分别是两三角形中线∴BC=2MC，EF=2NF∴BC=EF，在△ABC和DEF中，AB＝DEAC＝DFBC＝EF∴△ABC≌DEF（SSS）．