初高中数学衔接讲座

桂电中学唐海松初高中数学衔接的思考高中数学的特点是：注重抽象思维，内容庞杂、知识难度大。高中教材不再像初中教材那样贴近生活，生动形象，知识容量也更为紧密。客观的说，初高中知识之间存在断层，正是由于这种断层造成很多同学难以在较短时间内适应高中数学的学习。那么，如何做好初高中数学学习的衔接过渡，使得同学们对高中数学学习有一个正确的认识，并迅速适应新的教学模式呢？●必修模块：●选修系列：一、高中数学课程框架●必修课程(包括5个模块)•数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）。数学2：•立体几何初步、平面解析几何初步。•数学3：算法初步、统计、概率。•数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换。•数学5：解三角形、数列、不等式。●选修课程•系列1,由2个模块组成(文科)，•系列2,由3个模块组成(理科),•系列3,由6个专题组成(高考不考),•系列4,由10个专题组成(部分内容高考)。▲系列1：由2个模块组成(文科)选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。▲系列2：由3个模块组成(理科)选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何。选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。•选修2-3：计数原理、统计案例、概率。▲系列3：由6个专题组成(高考不考)•选修3-1：数学史选讲。•选修3-2：信息安全与密码。•选修3-3：球面上的几何。•选修3-4：对称与群。•选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类。•选修3-6：三等分角与数域扩充。▲系列4：由10个专题组成。•选修4-1：几何证明选讲。•选修4-2：矩阵与差分。•选修4-3：数列与差分。•选修4-4：坐标系与参数方程。•选修4-5：不等式选讲。•选修4-6：初等数论初步。•选修4-7：优选法与试验设计初步。•选修4-8：统筹法与图论初步。•选修4-9：风险与决策。•选修4-10：开关电路与布尔代数。文/理必修：数学1、数学2、数学3、数学4、数学5——高考附加题(3选1)总结：学习内容文必选：选修1-1、选修1-2理必选：选修2-1、选修2-2、选修2-3文/理选讲：选修4-1、选修4-4、选修4-5二、初高中需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接1．绝对值绝对值的概念始出现于初一数学课本，它是数学重要概念之一，贯穿于整个初等数学的始终，并随着知识的发展，不断深化．【初中】借助数轴理解绝对值的意义，并会求有理数的绝对值（绝对值符号内不含字母）．【高中】含绝对值不等式在选修系列4—5不等式选讲．【建议】含字母的绝对值，简单的含绝对值的方程（不等式）的解法．【高中练习示例】【高一前应掌握练习】【例1】解关于x的不等式：|x－2|＜1.【例2】解下列方程或不等式：（1）|1||2|5xx．（2）|1||2|5xx．【例3】不等式组axx3||恰好有三个整数解，求a的取值范围；二、初高中需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接2．整式整式的变形是重要的代数式的恒等变形，也是高中数学中极其常见的运算．【初中】要求了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算，乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）；会利用平方差、完全平方公式进行简单计算；会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）．【高中】不再学习整式．【建议】1、乘法公式（1）立方和公式：3322))((babababa；（2）立方差公式：3322))((babababa；（3）三数和平方公式：acbcabcbacba222)(2222；（4）两数和立方公式：2233333)(abbababa；（5）两数差立方公式：2233333)(abbababa．2、因式分解的方法：（1）分组分解法；（2）十字相乘法；（3）求根法；（4）待定系数法．【高中练习示例】求证：函数y=x3是增函数。本题实质是：已知函数y=x3的图象经过点),(11yx与),(22yx，且21xx，求证：21yy．解：∵函数y=x3的图象经过点),(11yx与),(22yx，∴311xy，2y=32x．∴21yy3231xx=))((22212121xxxxxx，∵21xx，∴021xx．又43)2(22222121222121xxxxxxxxx=043)2(22221xxx，（由于21xx，所以不能取等号）∴021yy，即21yy．【高一前应掌握练习】【例1】分解因式：（1）3832xx；（2）2265yxyx；（3）12267222yxyxyx．【例2】比较222cba与cabcab的大小．【例3】把多项式2223xxx表示成dxcxbxa)1()1()1(23的形式．问题2：对于任意实数x，下列不等式都成立吗？为什么？02010802xx二、初高中需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接3．分式【初中】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算；会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；能确定分式函数的自变量取值范围，并会求出函数值．【高中】不再学习。高二选修中，有少量分式不等式的学习。【建议】接触更复杂的分式运算（如分式拆分，分式乘方）；解可化为一元二次方程的分式方程．【高中练习示例】【例1】判断：函数1212)(xxxf是奇函数还是偶函数。本题的实质是：比较1212xx与1212xx是相等，还是互为相反数。【高一前应掌握练习】【例1】已知函数132xxy．（1）将它化为1xbay（a,b为常数）的形式；（2）画出函数的图象，并说明当x≥－2时，y的取值范围．练习：将1532xxxy化为dcxpnmxy的形式．【例2】解方程21421224xxxx．【例3】（1）已知0ba，求证：ba11．（2）已知0x，求证：21xx．【例4】解下列不等式：1313xx；0322322xxxx．问题3：下列是一个同学觉得比较简单的题，但要全对有一定的难度：①当1x时，x1的范围是；②当1x时，x1的范围是；③当1x时，x1的范围是；④当1x时，x1的范围是．二、初高中需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接4．二次根式高中阶段，我们在学习函数、解析几何、数列等内容时，涉及到大量的与二次根式有关的计算．【初中】了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化)．【高中】会学习有理指数幂及运算。【建议】根据需要，我们应掌握最简二次根式、同类根式的概念与运用，分子(母)有理化，简单的无理方程（不等式）．【高中练习示例】已知动点P（x,y）满足：6)2()2(2222yxyx求点P的轨迹方程。本题的实质：化简该方程。结果是：15922yx，化简后马上就可以知道，点P的轨迹是椭圆。【高一前应掌握练习】【例1】化简：（1）21；（2）2323；（3）)2(424242422222nnnnnnnnn．【例2】化简：（1）18211．（2）2212(01)xxx．【例3】解方程：（1）012152xxx；（2）1542xx；（3）0393253222xxxx．【例4】不等式xx2的解集是（）．A．12xB．2xC．1xD．21x二、初高中需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接5.二次方程（组）【初中】会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．【高中】不再学习。【建议】（1）理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；（2）掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用它求含有两根之和、两根之积的代数式的值，还能构造以、为根的一元二次方程；（3）能解决二元二次方程组的相关问题．【高中练习示例】20.（本小题满分14分）2010年广东高考题已知双曲线2212xy的左、右定点分别为12,AA,点P（12,xy），Q（12,xy）是双曲线上不同的两个动点。求直线1AP与2AQ交点的轨迹E的方程；若过点H（0.h）（h1）的两条直线部分解答过程：将1:lykxh代入2212xy得22()12xkxh，即222(12)4220kxkhxh，由2222164(12)(22)0khkh，即2212kh.【高中练习示例】关于x，y的方程组1422yxmkxy有两组解11yyxx或22yyxx（1x≠2x），且2121)2)(2(yyxx=0，求k与m的关系．解答如下：将mkxy代入224yx1，整理得0448)41(222mkmxxk，该方程的解即为1x、2x，∴0412k，0，且221418kkmxx，22214144kmxx．【高中练习示例】关于x，y的方程组1422yxmkxy有两组解11yyxx或22yyxx（1x≠2x），且2121)2)(2(yyxx=0，求k与m的关系．解答如下：∴2212122121)())((mxxkmxxkmkxmkxyy．又∵2121)2)(2(yyxx=0，∴4)(22121xxxx+221212)(mxxkmxxk=0，即4))(2()1(221212mxxkmxxk=0．【高中练习示例】关于x，y的方程组1422yxmkxy有两组解11yyxx或22yyxx（1x≠2x），且2121)2)(2(yyxx=0，求k与m的关系．解答如下：∴4418)2(4144)1(22222mkkmkmkmk=0．化简得：02016322kkmm，∴310km或km2．【高一前应掌握练习】【例1】关于019)13(22mxmmxx的方程．m取何值时，方程有两个不相等的实数根？【例2】设方程03622xx的两个根是，、且,利用根与系数的关系求：（1）11；（2）22．【例3】当m取什么实数时，关于x的方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分别有:（1）两个正实数根；（2）一正根和一负根；（3）正根绝对值大于负根绝对值；（4）两根都大于1．【例4】已知a，b，c都是实数，且a＋b＋c=0，abc=1，求证：cba,,中必有一个大于23．【例5】解方程组.065,202222yxyxyx问题4：下列二次方程组可能有4组解，对吗？如果是，m满足什么条件时方程组有4组解.mxyyx2122(m是常数)二、初高中需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接6.二次函数的图象和性质(衔接中最重要的内容)二次函数知识的生长点在初中，而发展点则在高中，是初高中数学衔接的重要内容．二次函数作为一种简单而基本的函数类型，是历年来高考的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化．【初中】确定二次函数的表达式，会用描点法画出二次函数的图象，并能从图象上认识二次函数的性质，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．【高中】结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。【建议】高中教材很少专门对二次函数进行研究，所以应该更深入地研究二次函数的图象和性质，包括：简单的图象变换、求给定自变量x的范围的二次函数的最值、构造二次函数来解决一些问题．【高中练